3.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docxVIP

3.2基本不等式

【考点梳理】

考点一：基本不等式

1．如果a0，b0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

考点二：用基本不等式求最值

用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值应注意x，y是正数；

(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

【题型归纳】

题型一：由基本不等式比较不等式的大小

1．已知，，若，则下列不等式一定成立的是（???）

A． B． C． D．

2．对于，，下列不等式中不成立的是（????）

A． B．

C． D．

3．已知，均为正数，且，则（????）

A． B．

C． D．

题型二：基本不等式求积的最大值

4．已知，且，则的最大值为（????）

A．2 B．5 C． D．

5．若则的最大值是（????）

A．4 B．1 C． D．不存在

6．的最大值为（????）

A．9 B． C．3 D．

题型三：基本不等式求和的最小值

7．已知函数()，当时，取得最小值，则（????）

A． B．2 C．3 D．8

8．若，则函数的最小值为（????）

A．4 B．5 C．7 D．9

9．当时，函数的最小值为（????）

A． B．

C． D．4

题型四：二次商式的最值问题（分离常数法）

10．已知正实数x，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

11．已知，则的最大值是（????）

A． B． C．2 D．7

12．已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．6 B．8 C．10 D．12

题型五：基本不等式“1”的妙用

13．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

14．若实数，，满足，以下选项中正确的有（????）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

15．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）

A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8

题型六：基本不等式的恒成立求参数问题

16．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

17．已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为（????）

A．4 B．16 C．9 D．3

18．函数的值域（????）

A． B． C． D．

题型七：对勾函数最值问题

19．代数式的最小值是（????）．

A．4 B．2 C．k D．不能确定

20．已知，则函数的最大值为（????）

A．-1 B．-3 C．1 D．0

21．下列命题正确的是（????）

A．函数的最小值是2．

B．若，且，则

C．函数的最小值是2

D．函数的最小值是

题型八：基本不等式的实际问题的应用

22．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（????）

A．20m B．50m C．m D．100m

23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

题型九：基本不等式的综合应用

24．（1）已知，求的最小值；

（2）已知x，y是正实数，且，求xy的最大值.

25．已知均为正实数．

(1)求证：．

(2)若，证明：．

26．已知a，b，c均为正实数，求证：

(1)；

(2)．

【双基达标】

一、单选题

27．下列