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1复变函数与积分变换〔B〕《复变函数》(四版)清华大学数学教研室编2013-2014学年第一学期教材

22013年9月3日第一章复数与复变函数

3对象复变函数〔自变量为复数的函数〕主要任务研究复变数之间的相互依赖关系,具体地就是复数域上的微积分主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等复数与复变函数、解析函数、

4学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和开展,它们之间有许多相似之处.但又有不同之处,在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果

5背景十六世纪,在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义,需要扩大数系,使实数域扩大到复数域在十八世纪以前,对复数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十八世纪,J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步说明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛成认接受,复变函数论顺利建立和开展.

6十九世纪奠定复变函数的理论根底三位代表人物:A.L.Cauchy〔1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质通过他们的努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

71.复数的概念2.代数运算3.共轭复数§1复数及其代数运算

8一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)复数的模判断复数相等

9定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为:z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四那么运算

10z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.〔与实数相同〕即,

11共轭复数的性质3.共轭复数定义假设z=x+iy,称?z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)

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131.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§2复数的表示方法

141.点的表示点的表示:数z与点z同义.

152.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy?称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值;以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)

16辐角无穷多:Argz=θ=θ0+2kπ,k∈Z,把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值,记作θ0=argz.z=0时,辐角不确定.计算argz(z≠0)的公式

17当z落于一,四象限时,不变.当z落于第二象限时,加.当z落于第三象限时,减.

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21oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法

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23引进复数的几何表示,可将平面图形用复数方程〔或不等式〕表示;反之,也可由给定的复数方程〔或不等式〕来确定它所表示的平面图形.例1用复数方程表示:〔1〕过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线;〔2〕中心在点(0,-1),半径为2的圆.oxy(z)Lz1z2z解〔1〕z=z1+t(z2-z1)〔-∞t+∞〕

24xy(z)O(0,-1)2例2方程表示什么图形?解

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26注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问

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