平顶高斯--超高斯-高阶高斯.docVIP

山东大学信息学院王云征

平顶高斯、超高斯、高阶高斯函数的基础知识

高斯函数是高等教育中一个比较重要的函数，在概率统计、光学等众多学科中都有它的身影。它的函数形式为，在不同学科中具体表示会略有不同，比如描述光束的振幅时函数与上式相同，描述光强时。本文将介绍高斯函数的基本概念以及常见的高阶高斯、超高斯和平顶高斯的具体定义等。这些函数在激光理论和强激光理论中有着重要的作用，高斯函数是谐振腔的本质模式，基模和高阶模可以分别有高斯和高阶高斯函数描述；在强激光的应用中常要求光斑要均匀，可以用超高斯或平顶高斯函数描述。

1高斯函数及其扩展函数

1.1高斯函数

（1）一般形式：将最大幅度定为1,即a=1，则。其图像如下

（2）一个具有高斯型空间分布的脉冲，强度分布为图像为

（3）一个时间上具有高斯分布的脉冲，函数形式，图像为

1.2高阶高斯函数

高阶高斯函数有很多种分类，常见的就有高阶贝塞尔高斯函数、高阶拉盖尔高斯函数、高阶厄米高斯函数、高阶椭圆高斯函数（包括高阶椭圆厄米高斯函数、高阶椭圆拉盖尔高斯函数）等等，现就这几类分别说明。

（1）高阶贝塞尔高斯函数形式：

其中是第一类高阶贝塞尔函数，m为阶数，w为光束束腰宽度。m=0,1,2,3时的贝塞尔函数曲线为：

m=0,1,2,3时的高阶贝塞尔高斯函数曲线为：

具有这种形式的空间分布的光束横截面图像为：

（2）高阶厄米高斯光束：是方形镜共焦腔的本征函数

厄米多项式，p为阶数。

p=0,1,2,3,4,5的厄米多项式的图像为：

所以高阶厄米高斯光束xy两个方向同时考虑的函数形式为：

，

其中分别为m，n阶厄米函数，w为束腰宽度。

则几个低阶横模的光强分布图像为：

（3）高阶拉盖尔高斯函数：圆形镜共焦腔的本征函数

拉盖尔多项式，其中n为阶数

拉盖尔多项式也可以写成：

前几阶拉盖尔多项式的图像为：

缔合拉盖尔函数，其中n为阶数

缔合拉盖尔多项式的递推公式为：

高阶缔合拉盖尔高斯光束xy两个方向同时考虑的函数形式为：

，

其中分别为m，n阶拉盖尔函数，w为束腰宽度，为相位角。

则几个低阶横模的光场分布图像为：（这里取得是光场E的实部）

（2）高阶椭圆高斯光束：一般的椭圆高斯光束复振幅可形式为：

其中k为波矢，，E0为常数。为复曲率张量，。

而三维不可分离变量的p阶椭圆高斯光束为：

，p=0,1,2,…

其中为p阶厄米多项式。p=0时约化为一般的椭圆高斯函数。

p=0,1,2,3,4,5阶时的平面图像为：

总结：从横截面图中的可以看出椭圆型的高斯光束，其光斑不在是圆形而是椭圆形，并且在传输过程中光强分布会发生旋转。只要将圆形的高斯光束复振幅中的换成，即，就可以变成椭圆型的这种高斯光束。比如高阶椭圆贝塞尔高斯光束、高阶椭圆厄米高斯光束、高阶椭圆拉盖尔高斯光束。所以本小节其实是以高阶椭圆厄米高斯光束为例进行介绍高阶椭圆高斯光束的。

1.3超高斯函数

在直角坐标系中，超高斯函数的形式：，N为阶数，当N=2时约化为高斯函数。N=2,4,6,8时的函数图像为：

具有超高斯形式分布的光束横截面图就可想而知了。

1.4平顶高斯函数

（1）平顶高斯光束的原始形式：N称为阶数。当N=2时，图像为：

一个具有平顶高斯时间分布的脉冲其时域图形与上图类似，只是横坐标改成时间t。

一个具有平顶高斯空间分布（x,y对称分布，阶数相同）的脉冲其空域图像如下：

通过其横截面图可以看出，平顶高斯光束的光斑中心的强度近似比较均匀。

（2）平顶高斯函数改进形式：

当N=2时，图像为

函数图像与原始型类似，具有该种函数分布的空间或时间脉冲的图像与原始型也类似

（3）平顶高斯函数原始型与改进型的区别

下图将给出N=0,4,16时原始型与改进型的图像

从图中可以看出，改进型的平顶高斯函数的束宽随N的变化不大，且N=0时退化为高斯函数，所以应用较多。

（4）平顶高斯光束的束宽用二阶矩定义定义：

，

这种定义使平顶高斯光束的传输满足ABCD定律

1.5平顶多高斯函数

在直角坐标系中，平顶多高斯光束的函数形式：

，

其中w为基模高斯光束的束腰宽度，N为平顶多高斯光束的阶数（N=0,1,2,3…）。N=0时约化为高斯函数。当N=0，2，4，8时的函数图象如下：