椭圆经典例题分类汇总--(学生版).doc

椭圆经典例题分类汇总

一.椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2椭圆的离心率，求的值．

说明：此题易出现漏解．排除错误的方法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．

方程表示椭圆，求的取值范围．

说明：此题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易无视的地方．

(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件

例5动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

二.焦半径及焦三角的应用

例1椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？假设存在，那么求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．

例2椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积〔用、、表示〕．

三.第二定义应用

例1椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

说明：此题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．

例2椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否那么就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二定义．

例3椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；

(2)求的最小值及对应的点的坐标．

说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．

四.相交情况下--弦长公式的应用

例1椭圆及直线．

〔1〕当为何值时，直线与椭圆有公共点？

〔2〕假设直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，假设能合理运用韦达定理〔即根与系数的关系〕，可大大简化运算过程．

例2长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

五.相交情况下—点差法的应用

例1中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

说明：〔1〕此题求椭圆方程采用的是待定系数法；〔2〕直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

例2椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

说明：

〔1〕有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

〔2〕解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

〔3〕有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例3椭圆，〔1〕求过点且被平分的弦所在直线的方程；

〔2〕求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

〔3〕过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

〔4〕椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

例4椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．

(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．

例5是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．