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导数中的构造函数
导数中的构造函数
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．
【方法综述】
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“、、”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
方法总结：和与积联系：，构造；
，构造；
，构造；…
，构造；，构造．等等．
减法与商联系：如，构造；
，构造；…
，构造．
，构造，，构造，………………
，构造，
奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
【解答策略】
类型一、巧设“”型可导函数
【例1】已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（）
A． B． C． D．
【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题
【答案】B
【解析】由已知，因为2log4x＝log2x，
所以原式可变形
令，，
函数与均为上的增函数，且，且，
当时，由，则，可得，
当时，由，则，可得，
要比较x与y的大小，只需比较与的大小，
设，则
，故在上单调递减，
又，，
则存在使得，
所以当时，，当时，，
又因为，
所以当时，，当时，正负不确定，
故当时，，所以，故，
当时，正负不定，所以与的正负不定，
所以均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x与y的大小，只需比较与的大小，，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性．
【举一反三】
1．若实数，满足，则（）
A． B． C． D．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题
【答案】C
【解析】，，
，，
在单调递减，在单调递增，
，
恒成立，时取等号，
，
，
，
，又（不等式取等条件），
解得：，
，
故选：C.
2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得：，构造函数，故g（x）在单调递减，由函数为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故选D
点睛：本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；
3．（2020·山西高考模拟（理））定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.
【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.
【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.
4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为()
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
在定义域上是增函数，且，
，
可转化成，得到
，又，可以得到，故选D
5．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】，则，而，且，∴，即在上单调递减，不等式可化为，即，故，解得：，故解集为：．
类型二巧设“”型可导函数
【例】已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）
【答案】A
【解析】当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递增．
∵，
∴关于直线对称，故在上单调递减，
由等价于，则，得．
∴的解集为．
故选：A.
【举一反三】
1．（2020锦州模拟）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D．
【解析】令，则为奇函数，且当时，恒成立，即函数在，上单调递减，又，则，则可化为或，则或．故选D．
2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结
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