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高数习题第8章
高数习题第8章
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高数习题第8章
第八章重积分
作业9二重积分的概念与性质
1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：
（1）SKIPIF10与SKIPIF10
(a)D是由直线SKIPIF10及SKIPIF10所围成的闭区域；
(b)D是由圆周SKIPIF10所围成的闭区域．
解：(a)因为在区域内部有SKIPIF10，从而SKIPIF10大
(b)因为在区域内部有SKIPIF10，从而SKIPIF10大
（2）SKIPIF10与SKIPIF10
(a)D是矩形闭区域：SKIPIF10；
(b)D是矩形闭区域：SKIPIF10．
解：(a)因为在区域内部有SKIPIF10，从而SKIPIF10大
(b)因为在区域内部有SKIPIF10，从而SKIPIF10大
（3）SKIPIF10与SKIPIF10，其中SKIPIF10是由三个坐标面与平面SKIPIF10所围成的闭区域．
解：因为在区域内部有SKIPIF10，从而SKIPIF10，因此SKIPIF10大
2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：
（1）SKIPIF10，其中D是矩形闭区域：SKIPIF10；
解：因为在区域内部有SKIPIF10，因此SKIPIF10
（2）SKIPIF10，其中SKIPIF10为球体SKIPIF10；
解：因为在区域内部有SKIPIF10，
因此SKIPIF10
（3）SKIPIF10，其中L为圆周SKIPIF10位于第一象限的部分；
解：因为在曲线上积分，
不妨设SKIPIF10，
SKIPIF10，
因此SKIPIF10
（4）SKIPIF10，其中SKIPIF10为柱面SKIPIF10被平面SKIPIF10所截下的部分．
解：因为在曲面上积分，从而SKIPIF10，SKIPIF10，
因此SKIPIF10
作业10二重积分的计算
1．试将二重积分SKIPIF10化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：
（1）由直线SKIPIF10及双曲线SKIPIF10所围成的闭区域；
解：作图得知区域D可以表示为：SKIPIF10，
得SKIPIF10
区域D也可以分块表示为：SKIPIF10
从而SKIPIF10
（2）环形闭区域：SKIPIF10．
解：在极坐标下环形闭区域SKIPIF10为SKIPIF10
从而SKIPIF10
在直角坐标下环形闭区域SKIPIF10需分块表达，分块积分变为
SKIPIF10
2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：
（1）SKIPIF10SKIPIF10；
（2）SKIPIF10SKIPIF10；
（3）SKIPIF10SKIPIF10．
3．画出积分区域，并计算下列二重积分：
（1）SKIPIF10，其中D是由两条抛物线SKIPIF10所围成的闭区域；
解：作图，原式=SKIPIF10
（2）SKIPIF10，其中D是由SKIPIF10所确定的闭区域；
解：作图，原式=SKIPIF10
（3）SKIPIF10，其中D是由不等式SKIPIF10所围成的闭区域；
解：作图，原式=SKIPIF10
（4）SKIPIF10，其中D是顶点分别为SKIPIF10的三角形闭区域．
解：作图，原式=SKIPIF10
4．求由SKIPIF10曲线所围成的闭区域的面积．
解：曲线方程联立，得SKIPIF10
作图知，原式=SKIPIF10
5．求由四个平面SKIPIF10所围柱体被平面SKIPIF10及SKIPIF10所截得的立体的体积．
解：四个平面SKIPIF10决定的区域D为：SKIPIF10
在区域D内部SKIPIF10
从而所截得的立体的体积
SKIPIF10SKIPIF10
6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：
（1）
SKIPIF10SKIPIF10
（2）SKIPIF10SKIPIF10；
7．利用极坐标计算下列积分：
（1）SKIPIF10，其中D是由圆周SKIPIF10所围成的闭区域；
解：D是圆周SKIPIF10，即SKIPIF10
从而SKIPIF10
（2）SKIPIF10，其中SKIPIF10是由圆SKIPIF10所围成的闭区域；
解：D是圆周SKIPIF10围成，
知其为SKIPIF10
从而原式=SKIPIF10
SKIPIF10
（3）SKIPIF10，D是SKIPIF10与SKIPIF10SKIPIF10所确定的闭区域；
解：D是圆环的关于原点对称的两部分，SKIPIF10，SKIPIF10与SKIPIF10
从而原式=SKIPIF10
SKIPIF10
（由对称性更简单：因为SKIPIF10，对称点的积分微元反号）
（4）SKIPIF10，其中D是介于两圆SKIPIF10和SKIPIF10之间的闭区域．
解：D介于两圆之间，可知SKI
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