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习题9-1二重积分的概念与性质
作业题
一、一立体由抛物面,及平面围成,写出该立体的体积的表达式.
二、设,其中;又,其中,试利用二重积分的几何意义说明与的关系.
三、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
1.与,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线围成;
2.与,其中
.
练习题
四、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值:
1.,其中;
2.,其中.
习题9-2(1)二重积分的计算
作业题
一、画出积分区域草图,化为二次积分(写出两种积分次序):
1.;
2.是由直线,及轴围成的闭区域;
二、计算下列二重积分(画出积分区域草图)
1.,;
2.,其中是由两条抛物线所围的闭区域;
三、改换下列二次积分的积分次序:
1.;
2.;
3.;
4.;
练习题
四、交换二次积分的积分顺序,并求其值.
五、设平面薄片所占闭区域是由直线,及x轴所围成,其面密度,求该薄片的质量.
六、计算由曲线,及所围成图形的面积.
七、计算由平面,,及三个坐标面围成的立体的体积.
习题9-2(2)二重积分的计算
作业题
一、画出积分区域,把积分表示为极坐标下的二次积分:
1.;
2.;
3..
二、利用极坐标计算下列各题:
1.,其中D是由圆周所围成的区域;
2.,其中D是圆环域;
3.,其中D是由,及,所围成的第一象限内的闭区域;
练习题
三、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分,并计算积分值:
1.;
2.;
四、计算以面上的圆周围成的闭区域为底,以为顶的曲顶柱体的体积.
自测题
一、填空题
1.是矩形闭区域:,则;
2.设D:则在直角坐标系下二重积分化为先y后x的二次积分是,在极坐标系下二重积分化为二次积分是.
二、计算下列二重积分:
1.,其中D是由直线,与所围成的闭区域;
2.,其中D是由直线,及x轴围成的闭区域;
3.,其中D是由直线,,,所围成的闭区域;
4.,其中D是圆周所围成的的闭区域;
5.,其中D是由直线及抛物线围成的闭区域.
三、计算由平面,,,所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.
四、一个形如旋转抛物面的容器内盛有cm3的水,问水面高度为多少厘米?
五、计算,其中是由方程所确定的,的函数,.
六、设在上连续,其中是由直线,,所围成的闭区域,证明.
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