导数和矢量运算.ppt

三、导数运算法则以下设u,v为x的函数，且导数u’,v’存在(1)和（差）的导数，由极限的加法法则：(2)积的导数：(3)商的导数：第32页,共41页，2024年2月25日，星期天(4)复合函数的导数法则，设y＝f(v)，v＝?(x)均有导数，则或求[解][例1]第33页,共41页，2024年2月25日，星期天求[解][例2]求[解][例3]第34页,共41页，2024年2月25日，星期天求双曲线在任意点的切线斜率。[解][例4]切线斜率为，在方程中逐项对x求导于是，此即曲线在坐标为(x,y)的点的切线斜率。?第35页,共41页，2024年2月25日，星期天一、微分概念定义：若f(x)在x处有导数，则称f(x)dx为f(x)在x处的微分，记为dy＝f(x)dx。P，C是曲线上两点，1.1.3单变量函数的微分二、微分的几何意义函数微分自变量微分导数?微商??第36页,共41页，2024年2月25日，星期天根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：三、微分运算法则(2)(1)函数在x处的微分dy就是曲线在x点的切线的纵坐标的增量。第37页,共41页，2024年2月25日，星期天(5)若，则(4)(3)第38页,共41页，2024年2月25日，星期天四、微分在近似计算中的应用当?x很小时，当取时，即有近似公式或改为第39页,共41页，2024年2月25日，星期天x应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：例如第40页,共41页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第41页,共41页，2024年2月25日，星期天关于导数和矢量运算一、定积分微分和积分是对立面的统一。1.1.4积分[例]物体作匀速直线运动，路程＝速度?时间，即s＝v?t。在v-t图中，路程s为阴影的面积。第2页,共41页，2024年2月25日，星期天[例]若物体作变速直线运动，速度v＝v(t),可以把t分成许多均等小段?t，只要?t充分小，每段时间中的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的路程相加，即近似为总路程，曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。当时,右边的极限值就是所求总路程：第3页,共41页，2024年2月25日，星期天上式可用积分形式表达：定积分的上、下限、被积函数、积分变量即定积分形式。定积分的一般形式：?几何意义:从0到t这段时间中v(t)曲线下的面积。第4页,共41页，2024年2月25日，星期天二、基本定理如果被积函数f(x)是某一个函数?(x)的导数，f(x)＝?’(x)，则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于?(x)在这区间内的增量。?(x)称为原函数?积分是导数的逆运算第5页,共41页，2024年2月25日，星期天求[解][例]找的原函数：因为故:三、不定积分不定积分是不定出上、下限的积分，可写成第6页,共41页，2024年2月25日，星期天式中C为常量，可根据具体问题所给的条件定出此常量已知曲线的切线斜率为若曲线经过点求此曲线方程。[例](1)求曲线方程；[解](1)设曲线方程为已知故第7页,共41页，2024年2月25日，星期天不同的C对应不同的曲线。曲线经过点把代入曲线方程，则曲线方程为:第8页,共41页，2024年2月25日，星期天四、基本积分公式第9页,共41页，2024年2月25日，星期天一、矢量定义二、矢量的合成附录1.2矢量第10页,共41页，2024年2月25日，星期天一、矢量定义?物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。?矢量的大小—矢量的模?模等于1的矢量—单位矢量?需要以大小和方向表示的物理量