考研数学三(线性代数)模拟试卷141(题后含答案及解析).docVIP

考研数学三（线性代数）模拟试卷141(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则A与B的秩()

A．必有一个为零

B．均小于n

C．一个小于n，一个等于n

D．均等于n

正确答案：B

解析：因A≠O，B≠O，故r(A)≥1，r(B)≥1．又AB=Or(A)＜n，否则r(A)=n，则A可逆，有A－1AB=O，即B=O，这与B≠O矛盾，故必有r(A)＜n，同理有r(B)＜n，故只有B正确．知识模块：线性代数

2．设有向量组α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，－1，5，10)．则该向量组的极大无关组是()

A．α1，α2，α3

B．α1，α2，α4

C．α1，α2，α5

D．α1，α2，α4，α5

正确答案：B

解析：由下列矩阵的初等行变换：A=[α1T…α5T]知α1，α2，α4是一个极大无关组．或用排除法：因α3=3α1+α2．α5=2α1+α2，故A、C、D组都是线性相关的，因而只有B正确．知识模块：线性代数

3．设α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T，α3=(c1，c2，c3)T．则3条平面直线a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是()

A．α1，α2，α3线性相关

B．α1，α2，α3线性无关

C．秩r(α1，α2，α3)=秩r(α1，α2)

D．α1，α2，α3线性相关，而α1，α2线性无关

正确答案：D

解析：题设3条直线交于一点联立线性方程组xα1+yα2+α3=0有唯一解(x，y)T．由该非齐次线性方程组有唯一解(α1，α2)=r(α1，α2，－α3)=2α1，α2线性无关，而α1，α2，α3线性相关，即知D正确．注意C中的条件只保证了方程组有解，但不能保证解是唯一的，故C不对．知识模块：线性代数

填空题

4．

正确答案：an+(－1)n+1+bn．涉及知识点：线性代数

5．设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t=_______．

正确答案：-3．

解析：在条件下必有|A|=0(否则|A|≠0，则A可逆，用A－1左乘AB=O两端，得B=O，这与B≠O矛盾)，t=－3．知识模块：线性代数

6．设矩阵B=，已知矩阵A相似于B，则秩(A－2E)与秩(A－E)之和等于_______．

正确答案：4．

解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P－1AP=B，P－1(A－2E)P=P－1AP－2E=B－2E，即A－2E与B－2E相似，故有r(A－2E)=r(B－2E)同理得r(A－E)=r(B－E)故r(A－2E)+r(A－E)=3+1=4．知识模块：线性代数

7．若向量组α1=(1，1，λ)T，α2=(1，λ，1)T，α3=(λ，1，1)T线性相关，则λ=_______．

正确答案：1或－2．

解析：由行列式|α1α2α3|=－(λ－1)2(λ+2)=0，λ=1或λ=－2．知识模块：线性代数

8．设λ1，λ2为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，x1为对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A－λ1x1x1T有两个特征值为_______．

正确答案：0，λ2．

解析：Bx1=Ax1－λ1x1(x1Tx1)=λ1x1－λ1x1=0=0x1，设x2是A属于λ2的特征向量，则Bx2=Ax2－λ1x1(x1Tx2)=Ax2－λ1x10=Ax2=λ2x2，故B有特征值0和λ2．知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．设行列式已知1703，3159，975，10959都能被13整除，不计算行列式D，试证明D能被13整除．

正确答案：将D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4列，则所得行列式第4列每个元素都有公因子13．涉及知识点：线性代数

10．设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求

B．

正确答案：B=(A－2E)－1A涉及知识点：线性代数

设n阶方阵A、B满足A+B=A

B．

11．证明：A－E为可逆矩阵；

正确答案：由AB－B－A=O，(A－E)B－(A－E)=E，(A－E)(B－E)=E，即知A－E可逆；涉及知识点：线性代数

12．当B=时，求A．

正确答案：A=E+(B+E)－1(或A=B(B－E)－1)涉及知识点：线性代数

13．已知3阶方阵