函数的零点复习.doc

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函数的零点复习(总7页)

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函数的零点

【内容讲解】

知识点一、函数的零点

1、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2、几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

3、函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

知识点二、二分法求方程的近似解

1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；

②求区间(a，b)的中点c；

③计算f(c)；

(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②③④.

知识点三、常见的函数模型及性质

1、几类函数模型：①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

③指数函数型模型：y＝abx＋c(b＞0，b≠1)．

④对数函数型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)．

⑤幂函数型模型：y＝axn＋b.

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2、三种函数模型的性质：

函数性质

y＝ax(a1)

y＝logax(a1)

y＝xn(n0)

在(0，＋∞)

上的单调性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax

知识点四、方法与要点

1、一个口诀：

用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．

2、两个防范：

(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．

(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

3、三种方法：

函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

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【例题讲解】

考点一函数零点与零点个数的判断

【例1】?(2010·福建)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x＞0))的零点个数为()．

A．3B．2C．7D．0

【训练1】函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间()．

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

考点二有关二次函数的零点问题

【例2】?是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a

【训练2】1、方程的两根都大于1，则实数的取值范围是

A.B.

C.或D.

2、关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时