七年级下册数学全等三角形的模型及应用.docx

专题12 全等三角形的模型及应用

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重难突破

知识点一 全等三角形常见模型

一线三等角

常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）

手拉手模型

常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）

（2）半角模型

常见图形如下：（正方形、一般四边形）

（1）一线三等角典例1

（2019春?莲湖区期末）如图1，在?ABC中，?BAC?90?，AB?AC，过点A作直线DE，且满足BD?DE

于点D，CE?DE于点E，当B，C在直线DE的同侧时，

求证：DE?BD?CE．

如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

【解答】（1）证明：如图1， BD?DE，CE?DE，

??D??E?90?，

?BAC?90?，

??BAD??CAE?90?．

?BAD??ABD?90?，

??CAE??ABD．在?ADB和?CEA中，

??D??E

???ABD??CAE，

?

??AB?AC

?

??ADB??CEA(AAS)，

?BD?AE，AD?CE，

DE?AD?AE，

?DE?CE?BD；

解：BD?DE?CE，理由：如图2，

BD?DE，CE?DE，

??ADB

??CEA

?90?．

??BAD

?ABD

?90?．

?BAD

?EAC

?90?

??ABD

??EAC

．

在?ADB和?CEA中，

??ADB??CEA

???ABD??EAC，

?

??AB?AC

?

??ADB??CEA(AAS)，

?BD?AE，AD?CE．

AE?AD?ED，

?BD?DE?CE．

解：DE?CE?BD，

理由是：如图3，同理易证得：?ABD??CAE(AAS)，

?BD?AE，AD?CE，

DE?AD?AE，

?DE?CE?BD．典例2

（2019春?长清区期末）CD是经过?BCA顶点C的一条直线，CA?CB，E、F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???．

如图（1），若直线CD经过?BCA的内部，且E、F在射线CD上，当?BCA????90?时，线段BE

与CF有怎样的大小关系？并说明理由．

如图（2），若直线CD经过?BCA的外部，当?BCA????90?时，则EF、BE、AF三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．

【解答】解：（1）BE?CF，理由：

?BCE??ACF?90?，?FCA??FAC?90?，

??BCE??FCA，（同角的余角相等）

?BEC??CFA，CA?CB，

?Rt?BCE?Rt?CAF(AAS)，

?BE?CF；

（2）EF?AF?BE，理由：

?BCE??ACF?180????，?CAF??ACF?180????，

??BCE??CAF，（同角的补角相等）

?BEC??CFA，CA?CB，

??BCE??CAF(AAS)，

?CE?AF，BE?CF，

?EF?CE?CF?AF?BE．

（2）手拉手全等典例1

如图，等边?ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边?EDC，连接AE．

求证：?ACE??BCD；

判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

【解答】证明：（1） ?ABC和?DCE都是等边三角形，

?BC?AC，DC?CE，?ACB??DCE?60?，

??ACB??DCA??DCE??DCA，即?BCD??ACE，

在?ACE和?BCD中，

?BC?AC

???BCD??ACE，

?

??DC?CE

?

??ACE??BCD(SAS)；

AE//BC，理由是：

?ACE??BCD，

??CAE??ABC，