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初二下学期平行四边形重难点知识和题型

平行四边形重难点答疑

一、以平行四边形为载体，解决线段、角的数量关系问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识

(1)平行四边形的性质和判定.

(2)特殊平行四边形的性质和判定.

(3)三角形中位线的性质.

(4)三角形全等的性质和判定.

(5)角平分线的性质.

(6)垂直平分线的性质.

解题方法：运用已知和结论中的特殊条件添加辅助线.

例1．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB

变式1、如图，在矩形ABCD中,AD=AB,AE平分∠BAD,DF⊥AE于F,BF交DE、CD于O、H,下列结论:①∠DEA=∠DEC;②BF=FH;③OE=OD;④BC-CH=2EF．其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

一、平行四边形中的折叠问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识

(1)平行四边形的性质和判定

(2)勾股定理

(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(4)等边三角形的性质

(5)轴对称图形性质

解题方法：运用方程的思想解决问题

例2.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG，求OG的长．

变式2:如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为__________

一、在四边形中的探究和操作问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识

(1)平行四边形的性质和判定

(2)两条直线的关系：数量关系位置关系

(3)等腰三角形的性质和判定,

(4)三角形全等的性质和判定

解题方法：充分理解和利用前一问提供的解题思路

例4、分别以平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

变式4、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC．

求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2,在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC,点A、B、C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形。

课后训练

1.如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为()

A．B．C．D．

2.如图2，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC-AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3.如图3，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为_____时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为_______时，四边形AMDN是菱形．

3.如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．

求证：∠ABH=∠CDE．

4.在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（