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二次根式的五重点三难点突破

二次根式的“五重点”“三难点”详解

五大重点一一攻克

二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。

例1判断下列式子哪些是二次根式．

（1）（2）；（3）；（4）；（5）

剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数．

解：（1）∵被开方数-13是负数，∴不是二次根式。

（2）∵根指数是3，∴不是二次根式。

（3）∵被开方数9〉0∴是二次根式。

(4)∵可取正数、负数、0；∴可取正数、负数、0。

即当时，是二次根式；当时，不是二次根式。

（5）∵，∴，即当时，是二次根式；当时，

不是二次根式。

2．二次根式的两个重要性质的理解和运用

（1）()2=a(a≥0)；（2）；

例2化简（1）（2）

剖析：()2=a(a≥0)的运用主要看被开方数整体是否为非负数。

中无论取何实数恒为正数，故=；

运用要特别关注的正负性。

（2）中由得，所以

=×=2·=。

3.最简二次根式的概念的运用

例3在二次根式，中，最简二次根式有（）个

A.1 B.2 C.3 D.4

剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故都不是最简二次根式；中被开方数含分母3，故不是最简二次根式。故选B。

4.运用二次根式乘除法法则计算或化简

例4化简:

解:原式=

例5计算：

解:原式=

=。

点拨:运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。

5.二次根式加减法法则的运用

例6计算

解:原式==

点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

二、三大难点各个击破

1．二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。

例1已知求的取值范围？

剖析：二次根式中的取值范围为，从而。

解：∵∴

而即又

∴的取值范围是。

例2数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：

.由图可知：；

∴

=

2．逆用二次根式乘除法法则进行化简

例3计算或化简（1）；（2）（）

解：（1）=

（2）=（）.

3.灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值

例4已知求的值.

解:由题可知

=

点拨:观察发现已知条件是一对相反数,而所求式子是这两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式简化求值.

栏目名：错题集

解二次根式常见错误分类解析

一、审题不清导致错误

例1的平方根是______.

错解：的平方根是4.

诊断：错把的平方根当成16的平方根。

正解：

二、化简不彻底，结果不是最简二次根式

例2化简.

错解：原式＝

诊断：化简二次根式的结果一定是最简二次根式，。

正解：原式＝

或原式＝

三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误

例3化简

错解：.

诊断：题中只隐含即＞0，＞0，所以与有可能相等。

故应分两种情况。

正解：（1）当时，原式=0；

（2）当时，

四、漏掉括号导致错误

例4分母有理化

错解：原式＝.

诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.

正解:原式＝

五、忽视中的隐含条件≥0

例5化简.

错解：原式＝＝＝

诊断：忽略了

诊断：忽略了

正解：由

原式＝

六、在化简时，忽视字母的具体取值而导致错误

例6当时，求的值。

错解：原式＝＝.

诊断:由,得,则＜0,.

正解:原式＝＝

七、连用“＝”号出错

例7已知中，两条直角边长分别为求斜边

错解：由勾股定理，＝

诊断：运算法则变了，还连用“=”号出错。

正解：由勾股定理，

八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错

例8已知求

错解：原式.

诊断:由＞0,知同号;又＜0,＜0.

正解:原式=

九、运算顺序不清导致错误

例9计算÷×

错解：原式＝÷1＝。

诊断：忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算。

正解：原式＝。

例10计算：.

错解：.

诊断：，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，

应先算乘除，再算加减。

正解：

十、乱用运算律导致错误

例11计算.

错解：原式＝÷＋÷＝。

诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。

正解：=

十一、在去括