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2024北京高三一模数学汇编
压轴解答题—新定义(第21题)
一、解答题
1.(2024北京延庆高三一模)已知数列,记集合.
(1)若数列为,写出集合;
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一组符合条件的;若不存在,说明理由;
(3)若,把集合中的元素从小到大排列,得到的新数列为,若,求的最大值.
2.(2024北京丰台高三一模)已知集合(,),若存在数阵满足:
①;
②.
则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵是的一个“好数阵”,试写出,,,的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
3.(2024北京石景山高三一模)已知集合,对于,,定义与之间的距离为.
(1)已知,写出所有的,使得;
(2)已知,若,并且,求的最大值;
(3)设集合,中有个元素,若中任意两个元素间的距离的最小值为,求证:.
4.(2024北京门头沟高三一模)已知数列,数列,其中,且,.记的前项和分别为,规定.记,且,,且
(1)若,,写出;
(2)若,写出所有满足条件的数列,并说明理由;
(3)若,且.证明:,使得.
5.(2024北京西城高三一模)对正整数,设数列.是行列的数阵,表示中第行第列的数,,且同时满足下列三个条件:①每行恰有三个1;②每列至少有一个1;③任意两行不相同.记集合或中元素的个数为.
(1)若,求的值;
(2)若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1.
①能否满足?说明理由;
②证明:.
6.(2024北京朝阳高三一模)若有穷自然数数列:满足如下两个性质,则称为数列:
①,其中,表示,这个数中最大的数;
②,其中,表示,这个数中最小的数.
(1)判断:2,4,6,7,10是否为数列,说明理由;
(2)若:是数列,且,,成等比数列,求;
(3)证明:对任意数列:,存在实数,使得.(表示不超过的最大整数)
7.(2024北京海淀高三一模)已知:为有穷正整数数列,其最大项的值为,且当时,均有.设,对于,定义,其中,表示数集M中最小的数.
(1)若,写出的值;
(2)若存在满足:,求的最小值;
(3)当时,证明:对所有.
8.(2024北京房山高三一模)已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合.若对于集合A中的元素k,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B;
(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当时,证明:;
(3)若满足,证明:.
9.(2024北京东城高三一模)有穷数列中,令,
(1)已知数列,写出所有的有序数对,且,使得;
(2)已知整数列为偶数,若,满足:当为奇数时,;当为偶数时,.求的最小值;
(3)已知数列满足,定义集合.若且为非空集合,求证:.
参考答案
1.(1)
(2)不存在,使得成立
(3)
【分析】(1)根据题目给出的集合的定义求解即可;
(2)使用假设法,假设存在,使得,进行计算检验,从而得出结论;
(3)首先证明时,对任意的都有,然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和,分类讨论即可得解.
【详解】(1)由题意可得,,,
所以.
(2)假设存在,使得,
则有,
由于与的奇偶性相同,与奇偶性不同,
又,,
所以中必有大于等于的奇数因子,这与无以外的奇数因子矛盾,
故不存在,使得.
(3)首先证明时,对任意的都有,
因为,
由于与均大于且奇偶性不同,
所以为奇数,对任意的都有,
其次证明除形式以外的数,都可以写成若干个连续正整数之和,
若正整数,其中,
则当时,由等差数列的性质可得:
,此时结论成立,
当时,由等差数列的性质可得:
,此时结论成立,
对于数列,此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项,
由前面证明可知正整数不是中的项,
所以的最大值为.
【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题,考查了求数列下标最值,同时考查了分类讨论的思想,计算量较大,属于难题.
2.(1),,,
(2)证明见解析
(3)是“好集合”,满足的“好数阵”有,,,;不是“好集合”,证明见解析
【分析】(1)直接根据定义解出未知量的值;
(2)可构造恰当的映射,以证明结论;
(3)第三问可通过分类讨论求解问题.
【详解】(1)由“好数阵”的定义,知,,,,故,,,,进一步得到,.
从而,,,.
(2)如果是一个“好数阵”,则,.
从而,.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数,故,从而.
这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等,从而是不同的数阵.
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