2024北京高三一模数学汇编：压轴解答题—新定义（第21题）.docx

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2024北京高三一模数学汇编

压轴解答题—新定义（第21题）

一、解答题

1．（2024北京延庆高三一模）已知数列，记集合.

(1)若数列为，写出集合；

(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；

(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．

2．（2024北京丰台高三一模）已知集合（，），若存在数阵满足：

①；

②．

则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．

(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；

(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；

(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

3．（2024北京石景山高三一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．

(1)已知，写出所有的，使得；

(2)已知，若，并且，求的最大值；

(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

4．（2024北京门头沟高三一模）已知数列，数列，其中，且，．记的前项和分别为，规定．记，且，，且

(1)若，，写出；

(2)若，写出所有满足条件的数列，并说明理由；

(3)若，且．证明：，使得．

5．（2024北京西城高三一模）对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为．

(1)若，求的值；

(2)若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1．

①能否满足？说明理由；

②证明：．

6．（2024北京朝阳高三一模）若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：

①，其中，表示，这个数中最大的数；

②，其中，表示，这个数中最小的数.

(1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；

(2)若：是数列，且，，成等比数列，求；

(3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数）

7．（2024北京海淀高三一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.

(1)若，写出的值；

(2)若存在满足：，求的最小值；

(3)当时，证明：对所有.

8．（2024北京房山高三一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．

(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；

(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；

(3)若满足，证明：．

9．（2024北京东城高三一模）有穷数列中，令，

(1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；

(2)已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；

(3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.

参考答案

1．(1)

(2)不存在，使得成立

(3)

【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；

（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；

（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.

【详解】（1）由题意可得，，，

所以.

（2）假设存在，使得，

则有，

由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，

又，，

所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，

故不存在，使得.

（3）首先证明时，对任意的都有，

因为，

由于与均大于且奇偶性不同，

所以为奇数，对任意的都有，

其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，

若正整数，其中，

则当时，由等差数列的性质可得：

，此时结论成立，

当时，由等差数列的性质可得：

，此时结论成立，

对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，

由前面证明可知正整数不是中的项，

所以的最大值为.

【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论的思想，计算量较大，属于难题.

2．(1)，，，

(2)证明见解析

(3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析

【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；

（2）可构造恰当的映射，以证明结论；

（3）第三问可通过分类讨论求解问题.

【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.

从而，，，.

（2）如果是一个“好数阵”，则，.

从而，.

故也是一个“好数阵”.

由于是偶数，故，从而.

这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.