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第一学期第一次课

第一章代数学的经典课题

§1若干准备知识

1.1.1 代数系统的概念

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义

定义（数域）设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。

例1.1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={i|∈Q}，其中i=。

命题任意数域K都包括有理数域Q。

证明设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是

。

进而Z,

。

最后，Z，，。这就证明了Q。证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差)设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。

定义（集合的映射）设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为

如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。

若都有则称为单射。若都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。

1.1.4求和号与求积号

1．求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：

,

.

当然也可以写成

,

.

2.求和号的性质.容易证明，

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和，再求总和即可。

第一学期第二次课

§2一元高次代数方程的基础知识

1.2.1高等代数基本定理及其等价命题

1.高等代数基本定理

设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。

定理（高等代数基本定理）C的任一元素在C中必有零点。

命题设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得

证明对作数学归纳法。

推论为的零点，当且仅当为的因式（其中）。

命题（高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使

证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。

2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义设是一个数域，是一个未知量，则等式

（1）

（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。

命题次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。

命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

，

，

如果存在整整数,,及个不同的复数，使得

，

则。

1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设，其中。设的复根为（可能有重复），则

所以

；

；

我们记

；

；

；

（称为的初等对称多项式）。于是有

定理2.5(韦达定理)设，其中。设的复根为。则

；

；

命题给定R上次方程

，，

如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。

证明由已知，

.

两边取复共轭，又由于R，所以

.

推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

第一学期第三次课

§3线性方程组

1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换

举例说明解线性方程组的Gauss消元法。

定义（线性方程组的初等变换）数域上的线性方程组的如下三种变换

（1）互换两个方程的位置；

（2）把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；

（3）把某一个方程加上另一个方程的倍，这里

的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方