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2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用（2）

1.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调增区间；

（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

2.已知函数，．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若直线是函数图像的切线，求的最小值；

（3）当时，若与的图像有两个交点，求证：

3.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为．

（Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围；

（Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？

（Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？

4.已知.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

5.已知函数恰有两个极值点，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

6.已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）

（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．

（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．

（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．

7.已知函数（）.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：当时，.

8.已知函数.

(1)当时，求在上的值域；

(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围.

9.已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

10.已知函数在上为增函数，且.

（Ⅰ）求函数在其定义域内的极值；

（Ⅱ）若在上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案

1.解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，

∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，

∴f′（0）=0，f（0）=1

即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，

∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）

（2）由于f（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0

①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，

故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f（x）＞f（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，

故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f（x）＞f（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）

（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|

=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）

由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，

所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，

（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，

而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，

记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0

所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，

所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，

也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；

当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）

①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，

②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，

综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）

2.（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，

∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴对?x＞0，都有，即对?x＞0，都有，.…………2分

∵，∴，

故实数a的取值范围是；.…………3分

（2）解：设切点为，则切线方程为，

即，亦即，

令，由题意得，，

令，则，.…………6分

当时，在上单