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平面向量公式
设a=(x,y),b=(x,y)。
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1、向量的加法
?向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
?AB+BC=AC。
?a+b=(x+x,y+y)。
?a+0=0+a=a。
?向量加法的运算律:
?交换律:a+b=b+a;
?结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
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2、向量的减法
?如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
?AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
?a=(x,y)b=(x,y)则a-b=(x-x,y-y).
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4、数乘向量
?实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
?当λ>0时,λa与a同方向;
?当λ<0时,λa与a反方向;
?当λ=0时,λa=0,方向任意。
?当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
?注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
?实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
?当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
?当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
?数与向量的乘法满足下面的运算律
?结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
?向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
?数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
?数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
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3、向量的的数量积
?定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
?定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。
?向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x+y?y。
?向量的数量积的运算律
?a?b=b?a(交换律);
?(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
?(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
?向量的数量积的性质
?a?a=|a|的平方。
?a⊥b〈=〉a?b=0。
?|a?b|≤|a|?|b|。
?向量的数量积与实数运算的主要不同点
?1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。
?2、向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a?c(a≠0),推不出b=c。
?3、|a?b|≠|a|?|b|
?4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
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4、向量的向量积
?定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
?向量的向量积性质:
?∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
?a×a=0。
?a‖b〈=〉a×b=0。
?向量的向量积运算律
?a×b=-b×a;
?(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
?(a+b)×c=a×c+b×c.
?注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
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向量的三角形不等式
?1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
?①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
?②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
?2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
?①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
?②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
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定比分点
?定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)
?设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
?若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
?OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
?x=(x1+λx2)/(1+λ),
?y=(y1+λy2)/(1
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