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初二数学经典难题及答案
初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。
APCDB首先，PA=PD，∠PAD=
A
P
C
D
B
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
ANFECDM
A
N
F
E
C
D
M
B
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)
同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，
在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底
PC
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
且PE=AD
而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC
所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
?解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
AC
A
C
B
P
D
所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：
解之得：
经检验得：是原方程解。
∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
图12图11
图12
图11
解：（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为，
于是，
而，
所以有，，解得
所以点Q的坐标为和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，
由勾股定理可得，
所以当即时，有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值
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