微积分 第三版 配套课件.ppt

1无穷级数的概念与基本运算法则定义7.1已知数列y1,y2,y3,y4,…,yn,…它的全部项相加称为无穷级数,简称为级数,记作yn=y1+y2+y3+y4+…其中yn是数列的一般项,也称为级数yn的一般项.自然提出问题:有限个数相加得到的是一个确定的和数,而无限个数相加得到的是什么?怎样才算得到一个确定的和数?这需要以极限的观点给出规定.考虑级数yn前n项部分和Sn=y1+y2+…+yn-1+yn当项数n取值为确定的正整数时,相应的部分和是一个确定的和数.所有部分和构成一个数列S1,S2,…,Sn-1,Sn,…显然,当项数n无限增大时,部分和数列的极限情况就代表了级数的情况.第七章无穷级数与一阶微分方程1无穷级数的概念与基本运算法则定义7.2已知级数yn,其前n项部分和为Sn.若极限Sn=S(有限值),则称级数yn收敛,并称它的和等于S,记作yn=S;若极限Sn不存在,则称级数yn发散,它不等于任何数,即没有和.定理7.1如果级数yn收敛,则一般项yn的极限limyn=0证:由于级数yn收敛,不妨设它的和等于有限值S,从而有极限Sn=S与Sn-1=S,又由于前n项部分和Sn=y1+y2+…+yn-1+yn前n-1项部分和Sn-1=y1+y2+…+yn-1因此一般项yn可以表示为yn=Sn-Sn-1所以一般项yn的极限yn=(Sn-Sn-1)=S-S=0第七章无穷级数与一阶微分方程1无穷级数的概念与基本运算法则推论如果一般项yn的极限yn不存在,或虽然存在但不为零,则级数yn发散.当然,如果一般项yn的极限yn=0,则级数yn可能收敛,也可能发散,须进一步判别.第七章无穷级数与一阶微分方程2正项级数定义7.3若yn0(n=1,2,…),则称级数yn=y1+y2+y3+y4+…为正项级数.正项级数是基本而重要的一类级数,其特征是各项取值皆为正.正项级数有许多性质,如无论加括号或去括号都不改变其敛散性.如何判别正项级数的敛散性?有达朗贝尔(DAlembert)判别法则.达朗贝尔判别法则已知正项级数yn(yn0;n=1,2,…),且极限=l,那么:如果l1,则正项级数yn收敛;如果l1,则正项级数yn发散.第七章无穷级数与一阶微分方程2正项级数另一类非常重要的广义调和级数的敛散性.广义调和级数的特征是一般项为变量n的幂函数之倒数,它当然是正项级数.经过深入的讨论,可以得到广义调和级数作为广义调和级数的特殊情况,有:正项级数=为p=1的广义调和级数,当然收敛;正项级数为p=21的广义调和级数,当然收敛;正项级数=为p=1的广义调和级数,当然发散.第七章无穷级数与一阶微分方程3交错级数第七章无穷级数与一阶微分方程4幂级数第七章无穷级数与一阶微分方程4幂级数第七章无穷级数与一阶微分方程4幂级数第七章无穷级数与一阶微分方程5微分方程的概念定义7.8含未知函数导数、微分或偏导数的方程式称为微分方程.只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,自变量个数超过一个的微分方程称为偏微分方程.本门课程只讨论常微分方程,简称为微分方程.微分方程可以显含自变量、未知函数,也可以不显含自变量、未知函数.在微分方程中,出现未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.未知函数及其各阶导数皆以一次项形式出现的微分方程称为线性微分方程,否则称为非线性微分方程.在本门课程所讨论的微分方程中,变量x为自变量,变量y为未知函数.第七章无穷级数与一阶微分方程6一阶可分离变量微分方程第七章无穷级数与一阶微分方程6一阶可分离变量微分方程第七章无穷级数与一阶微分方程7一阶线性微分方程第七章无穷级数与一阶微分方程第五章定积分5.7平面图形的面积第五章定积分5.7平面图形的面积例3求由抛物线y=x2与直线x+y=2围成平面图形的面积S.解:画出抛物线y=x2与直线x+y=2,得到它们围成的平面图形,如图5—11.附录二元微分学1二元函数的一阶偏导数第六章二元微积分1二元函数的一阶偏导数第六章二元微积分1二元函数的一阶偏导数第六章二元微积分1二元函数的一阶偏导数第六章二元微积分2二元函数的二阶偏导数第六章二元微积分2二元函数的二阶偏导数例1求二元函数z=x3y2-5xy4的二阶偏导数.解:计算一阶偏导数zx=3x2y