求矩阵特征值的方法.pdfVIP

对于矩阵的特征值和特征向量的

求解是解线性代数问题和应用的关键之一。下面将从基本概念、性质、求解方法

等方面全面介绍矩阵特征值的方法。

一、基本概念

矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x=0

有非零解x存在。其中，I是n阶单位矩阵。λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-

λI)x=0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

二、性质

1.矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。

2.矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。

3.n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。即重特征值可

以有多个线性无关的特征向量。

4.矩阵的特征向量是线性无关的。

三、求解方法

1.特征值的定义法

根据特征值的定义，我们将(A-λI)x=0进行变换，得到(A-λI)x=0，即(A-λI)x=

0。利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特

征向量。

2.特征值的代数重数和几何重数

特征值λ是使(A-λI)x=0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。而对应特征值

λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重

数。通常，代数重数大于等于几何重数。

3.矩阵的特征向量

特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x=0可以得到特征向量。

特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。

4.特征值和特征向量的计算法

常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题

求解方法等。

（1）幂法

幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。首先初始化一个非零向

量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。迭代过程为：b(k+1)=

A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。最后得到的向量b即为矩阵A的

最大特征值对应的特征向量。

（2）反幂法

反幂法是求解矩阵最小特征值和特征向量的一种迭代方法，其思想和幂法类似，

A^(-1)。迭代过程为：b(k+1)=A^(-1)*b(k)，

其中b(k)表示第k次迭代后的向量。最后得到的向量b即为矩阵A的特征值最

接近0的特征向量。

（3）QR方法

QR方法是一种求解矩阵特征值和特征向量的常用方法。首先将矩阵A进行QR

分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R；然后再对得到的上三角矩阵R进行QR

分解，继续得到正交矩阵Q和上三角矩阵R；重复进行上述步骤，直到满足终

止条件。最后得到的上三角矩阵R的对角线元素即为矩阵A的特征值，而对应

的特征向量可以通过迭代计算得到。

（4）稀疏特征问题求解方法

对于稀疏矩阵的特征值问题，往往存在计算效率低下的问题。因此，一些特殊的

求解方法被提出来针对这一问题，如代数多重网格、投影迭代法、特征子空间迭

代求解法等。

四、总结

矩阵特征值是线性代数中的重要内容，求解矩阵特征值和特征向量的方法多种多

样。根据特征值的定义，可以通过代数方法求解特征值，再带入方程组求解特征

向量。另外，幂法、反幂法、QR方法等迭代方法是求解矩阵特征值和特征向量

的常用方法。对于稀疏特征问题，还需要采用特定的求解方法来提高计算效率。

是深入理

解矩阵的特征值和特征向量的基础。