半导体器件模拟.ppt

半导体器件模拟根据前面的概述，我们还需处理人为边界条件。此处，或者假设为自然边界条件，它决定所考虑的域，即所模拟的器件面积，是有完整结构的(5.1-27)至(5.1-29)式,或者指定静电势的Dirichlet值与载流子浓度，这是预先估计的(例如图5.1-1中的G-H)。第63页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟必须验证应用这些边界条件的物理与数学的合理性。例如在图5.1-1中，距离A-B以及E-F应足够大，从而使在A-H及F-G处由于人为边界条件引进的误差相当小。应用边界条件(5.1-27)～(5.1-29)的一个限制是要求参量C,Dn,Dp以及μp,n对于边界的单位法向矢量的导数沿整个人为边界为零。要注意，若静电势的边界条件是时间相关，则基本半导体方程仅构成一个时间相关问题。若静电势的边界条件是不随时间变的，半导体方程就简化为由三个联立椭圆方程组成的系统。第64页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟(四)、基本方程的离散化离散数值解法，无论对任何一个系统，都包括以下两个步骤：①将模拟的几何定义域分割成有限数的子区域，而子区域内易得所需的精确解。②每一个子域内的微分方程得用代数方程来近似，本节将具体地讨论方程的离散化过程。第65页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在分割定义域（即离散化）和选择子区域内自变量的近似函数方面已经提出了许多可行的方法。特别是对于半导体方程已经开发了许多技术。这些技术从数学分析的观点来看并不是很重要的。但它们有高的计算效率。因而从工程的目的来看确实是重要的。目前常见的离散方法，具体地说就是网格的划分大致有三种:有限差分法----特点是简单易行。有限盒法----实际上是一种更一般的有限差分法，这两种方法大多对一些规则的边界使用起来比较便利；有限元法---它与有限差分法相比有其显著特点。第66页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟有限元法可以用不同形状的网格分割区域。根据定义域中函数的要求自如地布置节点，因而对不同区域边界，尤其是不规则的边界适应性较强。而有限差分法对定义区域的离散方法是直交网格，因此很难适应复杂的区域边界。网格划分的好坏，直接对方程求解的稳定性。求解结果的准确性、收剑性以及收剑速度都有影响.常用的网格划分标准是：在整个模拟区域内平均各网点离散时的局部截断误差，并且使其满足给定的精度要求。第67页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟网格的划分可分为自动剖分和人为地经验剖分。上述的网格划分标准已由一些作者用到了网格自动剖分上。在自动剖分中还用到这两个划分规则：（1）如果两个相邻节点之间电势差＞u（例如取u=10），则继续细分这两点的网格。（2）在两次迭代之间差值最大的点周围继续细分.至于经验剖分，一般原则是在变量变化比较陡的区域网格划分的细一些。第68页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟1、有限差分法在经典的有限差分法中，微分方程的求解区域有一组平行于坐标轴的网格线分割成子区域。图4-1为一个横向双极型晶体管的有限差分网格实例:图4-1第69页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟其中NX线置成平行于y轴，NY线置成平行于x轴。本例中NX=41、NY=22。(点总数902,边界有122点)在NX，NY的交点上求解微分方程组：这组方程是半导体基本方程的二维形式，而且是静态（稳态）情况（即电子、空穴对时间的偏导数恒为零）。这是为了简化起见仅考虑二空间维数，实际上大多数结果能够用简单的方法推广到三维空间。第70页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟首先我们将内部点的微分方程用每个内部点最近邻点的差分代数方程来代替。这里采用经典的五点离散化。采用的术语见图4-2。图中可看出以下表达关系：hi=xi+1-xi,i=1,Nx-1kj=yj+1-yj,j=1,NY-1为了简化表示符号用：ui,j=u(xi,yj),i=1,NX,j=1,NY第71页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟假设u是三次连续可微的，我们将所有一级偏导数转换成用以上差分近似，在所有内部点1＜i＜NX，1＜j＜NY处,重写基本方程，对于泊松方程，可得到：第72页,共83页，2024年2月