2024年上海16区九年级数学二模真题汇编专题：10 二次函数综合题解答第24题含详解.docxVIP

10.二次函数综合题

1.（2024·上海奉贤二模24）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为．

（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）；

（2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值；

（3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式．

2.（2024·上海虹口二模24）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．

已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．

（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；

（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．

3.（2024·上海黄浦二模24）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式．

（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是②；然后求出抛物线L的顶点是③；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W的表达式是⑤．

（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式．

（3）如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式．

4.（2024·上海金山二模24）已知：抛物线经过点、，顶点为P．

（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．

若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；

若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．

5.（2024·上海静安二模24）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）联结、、，求的值；

（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标．

6.（2024·上海闵行二模24）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）；

（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围．

7.（2024·上海浦东二模24）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．

（1）求b、c的值；

（2）如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标；

（3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式．

8.（2024·上海普陀二模24）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且．

（1）当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式；

（2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系；

（3）以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长．

9.（2024·上海青浦二模24）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点．

（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；

（2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积；

（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标．

10.（2024·上海松江二模24）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．

（1）求、的值；

（2）将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．

①如果，求的面积；

②如果，求的值．

11.（2024·上海徐汇二模24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；

（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，