一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型.ppt

传染病模型尽管现在卫生设施在不断改善，医疗水平也在不断提高，但在世界的某些地区，仍时有传染病流行的情况发生。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析得病人数的变化规律等，一直是人们重视的问题。用数学方法研究传染病，不是从医学的角度具体分析每种传染病的传播，而只是按照一般的传播机制来建立模型。现将人分为两类，一是传染病患者，一是传染病易感者，设，分别为时刻传染病人数和易感者人数。假设易感者因与传染者接触而得病，且传染病人数因病死而减少。进一步假设单位时间传染病人数的增量为，减少人数为，则有如下模型由方程可得从而有其中此模型没有考虑到防疫，治疗，免疫等机制，所以有很大的局限性，也为此模型的进一步完善留有广阔的空间。差分方程模型Leslie模型上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。但不同年龄的人的繁殖率和死亡率有着明显的不同。考虑按年龄分组的种群增长模型，我们介绍在20世纪40年代建立的一个具有年龄结构的人口离散模型。我们将人口按年龄划分成m个年龄组，即1，2，…,m组。此处还隐含假定所有人的年龄不能超过m组的年龄。现将时间也离散为时段，并且的间隔与年龄区间大小相等。记时段第i年龄组的种群数量为，记时段种群各年龄组的分布向量为则我们可以建立人口增长的差分方程模型为此处L为已知矩阵。当时段各年龄组的人数已知时，即已知时，可以求得时段的按年龄组的分布向量为由此可以算出各时段的种群总量。 偏微分方程模型当我们要考察的量同时与两个变量有关时，要想描述其变化率的关系，则通常要用偏微分方程模型来描述。下面介绍考虑人口年龄的连续模型连续人口发展方程设表示年龄，表示时间，表示时刻年龄小于的人口总数，记为人类寿命的上限，为时的总人口数，设为人口密度，为死亡率函数。另外我们给出初始条件和边界条件，记最近一次人口普查的时间为，从而为已知，记为时刻单位时间内出生的人口数，则可得到如下的连续人口发展的偏微分方程模型由偏微分方程理论，我们可以求出人口密度函数。一阶常微分方程模型微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。指数增长模型（Malthus人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成正比。模型建立：设为时刻的人口述，考察时间区间上的人口变动。令可以得到微分方程模型可以解得此方程的解为模型分析和应用：（1）当r0时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。（2）对于其中常数增长率r的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。（3）在实际情