北师大版初二数学下知识点(适于家教第三章分式.doc

第三章分式

一.分式

※1.两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

例题讲解

（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

5x－7,3x2－1,,,－5,,,.

（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.②当a为何值时，分式有意义？③当a为何值时，分式的值为零？（1）中5x－7,3x2－1,,－5,是整式；,,是分式.

※2.整式和分式统称为有理式,即有:

※3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

※4.一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二.分式的乘除法

※1.分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

即:,

※2.分式乘方,把分子、分母分别乘方.

即:

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

※3.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

［例2］计算：

（1）3xy2÷;（2）÷

三.分式的加减法

※1.分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2.分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

※3.概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

计算：

（1）－;（2）+;（3）－

四.分式方程

※1.解分式方程的一般步骤:

①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

※2.列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意;

②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根;

⑤写出答案.

例2.解方程：

（1）=;（2）+=2.

［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.

解：（1）=

去分母，方程两边同乘以x（x－1），得

3x=4（x－1）

解这个方程，得x=4

检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，

所以原方程的根为x=4.

（2）+=2

去分母，方程两边同乘以（2x－1），得

10－5=2（2x－1）

解这个方程，得x=

检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.

所以原方程的根为x=.