常用泰勒公式.doc

简介

在数学上,一个定义在\o开区间开区间(a-r,a+r)上的无穷\o可微的可微的\o实变函数实变函数或\o复变函数复变函数f的泰勒级数是如下的\o幂级数幂级数

这里，n!表示n的\o阶乘阶乘而f?(n)(a)表示函数f在点a处的n阶\o导数导数。如果泰勒级数对于区间(a-r,a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为\o幂级数幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的\o余项余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a=0,那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，\o幂级数幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求\o和函数和函数相对比较容易。第二，一个\o解析函数解析函数可被延伸为一个定义在\o复数复平面上的一个开片上的\o全纯函数解析函数，并使得\o复分析复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来\o近似计算近似计算函数的值。

对于一些\o无穷可微函数无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，\o分段函数分段函数f(x)=exp(?1/x2)当x≠0且f(0)=0，则当x=0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其\o收敛半径收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x=0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时exp(?1/z2)并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些\o奇点奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x)=exp(?1/x2)就可以被展开为一个\o洛朗级数洛朗级数。

\o/~jim/picard.htmlParker-Sockackitheorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解\o微分方程微分方程的定理。这个定理是对\oPicarditerationPicarditeration一个推广。

[\o泰勒级数编辑]

泰勒级数列表

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。它们对于\o复数复参数x依然成立。

\o指数函数指数函数和\o自然对数自然对数:

\o几何级数几何级数:

\o二项式定理二项式定理:

\o三角函数三角函数:

\o双曲函数双曲函数:

\oLambertsWfunctionLambertsWfunction:

tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是\oBernoullinumbersBernoullinumbers。二项式展开中的C(α,n)是\o二项式系数二项式系数。sec(x)展开式中的Ek是\oEulernumbersEulernumbers。

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多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个\o变量变量的\o函数函数：

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历史沿革

泰勒级数是以于\o1715年1715年发表了泰勒公式的\o数学家数学家\oBrookTaylorBrookTaylor来命名的。