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第8章常微分方程的数值解法

8.4单步法的收敛性与稳定性

8.4.1相容性与收敛性

上面所介绍的方法都是用离散化的方法，将微分方程初值问题化为差分方程初值问题求

解的.这些转化是否合理？即当h时，差分方程是否能无限逼近微分方程，差分方程的

解是否能无限逼近微分方程初值问题的准确解，这就是相容性与收敛性问题.

ynyx(n)

用单步法(8.3.14)求解初值问题(8.1.1)，即用差分方程初值问题

yyh(x,y,h)

n1nnn

(8.4.1)

yx(0)y0



的解作为问题(8.1.1)的近似解，如果近似是合理的，则应有

yx(h)yx()

(xyx,(),h)0(h0)(8.4.2)

h

其中yx()为问题(8.1.1)的精确解.因为

yx(h)yx()

limy(x)f(xy,)

h0h

故由(8.4.2)得

lim(xyh,,)f(xy,)

h0

如果增量函数(xyx,(),h)关于连续，则有

h

(xy,,0)f(xy,)(8.4.3)

定义8.3如果单步法的增量函数(xyh,,)满足条件(8.4.3)，则称单步法(8.3.14)与

初值问题(8.1.1)相容.通常称(8.4.3)为单步法的相容条件.

满足相容条件(8.4.3)是可以用单步法求解初值问题(8.1.1)的必要条件.

容易验证欧拉法和改进欧拉法均满足相容性条件.一般地，如果单步法有阶精度（

p

p1），则其局部截断误差为

yx(h)yx()h(xyx,(),h)Oh(p1)



上式两端同除以，得

h

yx(h)yx()p

(xyh,,)Oh()

h

令h0，如果(xyx,(),h)连续，则有



y(x)(xy,,0)0

所以p1的单步法均与问题(8.1.1)相容.由此即得各阶龙格－库塔法与初值问题(8.1.1)

相容.

1

y