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第二部分数值分析基础理论与算法
五、常微分方程初值问题
电子工程学院1
常微分方程初值问题数值解法
5.1基本理论
一阶常微分方程初值问题：
dy
(,)
fxy
dx
y(x0)y0
电子工程学院2
2y
例：方程xy-2y4x=⇒y=+4
x
2y
令：f(x,y)=+4且给出初值y(1)=-3
x
就得到一阶常微分方程的初值问题：
dyf(x,y)2y+4
dxx
y(1)=−3
电子工程学院3
解的存在及唯一性：
只要函数f(x,y)适当光滑连续，且关于y满足
李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L,使得
f(x,y1)-f(x,y2)≤Ly1-y2
由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且唯一。
微分方程的数值解：
设方程解y(x)的存在区间是[a,b]，令a=xx…x=b,
01n
其中h=x-x,若是等距节点h=(b-a)/n,h称为步长。
kk+1k
当y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到时，可
用数值方法求得y(x)在每个节点x上函数值y(x)的近似值，
kk
用y表示，即y≈y(x)，则称y,y,...,y为微分方程的数值解。
kkk01n
电子工程学院4
dy
(,)
fxy
dx
y(x0)y0
本章主要内容：
（1）对常微分方程离散化；
（2）建立求数值解的递推公式。
电子工程学院5
微分方程离散化常用方法
A.用差商代替微商（导数）的方法
dyy(xn+1)−y(xn)
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