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《曲线与方程》考点分析

考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

教材复习

曲线的方程与方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：

曲线上的点的坐标都是这个方程的________；以这个方程的解为坐标的点都是________

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

两曲线的交点

设曲线的方程为，曲线的方程为，则曲线的交点坐标即为方程组________的实数解，若此方程组无解，则两曲线________

求动点轨迹方程的一般步骤

①建系：建立适当的坐标系；

②设点：设轨迹上的任一点；

③列式：列出动点所满足的关系式；

④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为的方程式，并化简；

⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

求轨迹方程常用方法

直接法：直接利用条件建立之间的关系；

定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.

待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

代入法（相关点法）：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将带入已知曲线得要求的轨迹方程.

参数法：当动点的坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.

基本知识方法

掌握“方程与曲线”的充要关系；

求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.

典例分析：

考点一曲线与方程

问题1．(武汉调研)如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”

是不正确的，那么下列命题正确的是

坐标满足方程的点都不在曲线上；

曲线上的点不都满足方程；

坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线上；

至少有一个点不在曲线上，其坐标满足方程.

如果曲线上的点满足方程，则以下说法正确的是：

曲线的方程是；

方程的曲线是；

坐标满足方程的点在曲线上；

坐标不满足方程的点不在曲线上；

判断下列结论的正误，并说明理由：

①过点且垂直于轴的直线的方程为；

②到轴距离为的点的直线的方程为；

③到两坐标轴的距离乘积等于的点的轨迹方程为；

④的顶点，，，为的中点，则中线的方程为.

作出方程所表示的曲线.

（北京）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：

①曲线过坐标原点；

②曲线关于坐标原点对称；

③若点在曲线上，则的面积大于.

其中，所有正确结论的序号是

考点二直接法求轨迹方程

问题2．（全国新课标）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）略.

考点三定义法求轨迹方程

问题3．已知中，、、所对的边分别为，且

成等差数列，，求顶点的轨迹方程.

考点四代入法（相关点法）求轨迹方程

问题4．（陕西）如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上一点，且．

当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．

课后作业：

方程表的图形是两个点四个点两条直线四条直线

设曲线是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么的方程是

和

已知点，内接于圆，且，当在圆上运动时，中点的轨迹方程是

若两直线与交点在曲线上，则

若曲线通过点，则的取值范围是

画出方程所表示的图形：

为定点，线段在定直线上滑动，已知，到的距离为，求的外心的轨迹方程.

设，求两直线：与：的交点的轨迹方程.

已知抛物线，为顶点，

为抛物线上的两动点，且，如果

于，求点的轨迹方程.

走向高考：

（广东）设圆的方程为，直线的方程为的点的坐标为，那么

点在直线上，但不在圆上点在圆上，但不在直线上

点既在圆上，也在直线上，点既不在圆上，也不在直线上

(辽宁)已知点、，动点满足，则点的轨迹是

圆椭圆双曲线抛物线

(四川)如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）略.