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两类抛物双曲方程的定性研究的开题报告

标题：两类抛物双曲方程的定性研究

研究背景和意义：

抛物双曲方程是数学物理方程中非常重要的一类方程，在地球物理、流体力学、控制理论等领域都有广泛的应用。然而，由于其非线性性质和复杂的解析形式，对于抛物双曲方程的定性研究一直是一个具有挑战性的问题。研究抛物双曲方程的性质，对于深入理解各种物理现象和预测与控制这些现象具有重要的理论和应用价值。

研究思路和目标：

本研究将主要围绕两类抛物双曲方程展开定性研究。其中一类是非线性Schrodinger方程，另一类是具有热噪声作用的随机Korteweg-deVries方程。这两类方程都是具有重要地位的非线性抛物双曲方程，但目前对它们的定性分析只有很少的研究，因此对它们的定性研究具有重要的理论和应用价值。

具体的研究目标包括：

1.对于非线性Schrodinger方程，分析其稳定性、吸引子等动力学性质，同时研究其存在性和唯一性；

2.对于随机Korteweg-deVries方程，考虑热噪声的作用，研究其解的稳定性和存在性，同时计算出其平均解和方差解，并分析随机项和热噪声强度对解的影响。

研究方法和步骤：

本研究主要采用数学分析和计算机数值模拟相结合的方法进行研究。具体的研究步骤如下：

1.对于非线性Schrodinger方程，采用StabilityTheory方法对方程的稳定性进行研究，并利用传统的变换方法和新的权函数方法证明方程的唯一性；

2.对于随机Korteweg-deVries方程，采用半群理论、变分原理方法等对方程的解的存在性和唯一性进行研究，同时使用数值方法进行模拟计算，计算出方程的平均解和方差解，并分析随机项和热噪声强度对解的影响。

预期成果和意义：

本研究主要预期取得如下成果：

1.对于非线性Schrodinger方程，深入分析其稳定性、吸引子等动力学性质，同时证明其存在性和唯一性，为进一步研究该方程提供理论基础；

2.对于随机Korteweg-deVries方程，考虑随机项和热噪声对方程的影响，论证方程解的存在性和稳定性，并计算得出方程的平均解和方差解，为深入理解该方程的物理机制提供重要的参考。

这些成果将对于深入理解抛物双曲方程的性质、探索其应用的新领域等方面具有重要的推动作用。