2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷.docx

2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则

A． B．， C．， D．，0，

2．（5分）已知，则

A． B．1 C． D．

3．（5分）当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约年．（参考数据：

A．3000 B．3100 C．3200 D．3300

4．（5分）已知，则

A． B． C． D．

5．（5分）已知，，，则

A． B． C． D．

6．（5分）为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为

A．252 B．250 C．182 D．180

7．（5分）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则

A． B．

C． D．、的大小关系不定

8．（5分）若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列关于函数的结论正确的是

A．函数是偶函数 B．函数的最大值为2

C．函数在单调递增 D．函数的最小正周期是

10．（5分）已知正三棱锥中，为的中点，，，则

A．

B．

C．该三棱锥的体积是

D．该三棱锥的外接球的表面积是

11．（5分）已知直线与相交于、两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是

A． B．1 C．2 D．3

12．（5分）设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则

A．当时，

B．当时，

C．当且时，

D．当且时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设等差数列的前项和为，，，则的最小值为．

14．（5分）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，，那么的值为．

15．（5分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，且，则．

16．（5分）2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，，则（用表示）；据调研发现，当最长时该奖杯比较美观，此时的值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列的前项和，令，，2，．

（1）求、的通项公式；

（2）数列中去掉数列中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列，求的值．

18．（12分）如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形的面积．

19．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：

超过1小时

不超过1小时

男

20

8

女

12

（1）求，；

（2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为，求的数学期望．

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

．

20．（12分）如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．

（1）证明：四边形是矩形；

（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）是否