2025届高考数学精准突破复习关于琴生不等式的新教材中的应用.docxVIP

2025届高考数学精准突破复习

关于琴生不等式的新教材中的应用

一、雏形

如图曲线y=f(x)区间D上的上凸函数x?x?为D上的任意两点,

由图形可以看出：f

这个结论在初等数学领域无需证明，也不能证明，因为它是由凸函数的定义为得到的。

在高等数学中，它是可以严格证明的

上图函数的定义设连续函数y=f(x)在区间D上有定义，且.f

定理：若y=f(x)为区间D上的上凸函数，则对于任意.x?,x?∈D,都有f

证明：对于x1+x

由拉格朗日中值定理可知，存在ξ

使得f

f

又因为fx

所以fx1+x

下面说明拉格朗日中值定理的证明：(用洛尔中值定理证明)

设g

则g

所以g(a)=g(b),由罗尔定理可知存在(ξ∈ab,使得gξ

下面再用保号性证明洛尔定理

(费马定理)设函数f(x)在x?的某邻域内有定义，若f(x)在.x?可导，且在x?处取得极大值或极小值，则f

证明：设f(x)在x?取得极大值，则存在x?的某邻域(Ux?,使得对一切.x∈Ux?,有fx≤fx?,因此当x≤x?时,有fx?f

f

f

于是f

二、演变

1.1(琴生不等式)设曲线y=f(x)区间D上的上凸函数x?,x?,…,x?为D上的任意n点,

则有：f

这个结论的证明非常技巧，从此也可看出数学归纳法的强大作用

证明：先证明n=2?时fx

(1)由凸函数的定义可知,当k=1,即n=2时,结论fx

假设当n=2?时仍有f

则当n=2??1时

≥f

这说明n=2??1结论也成立。上述即证明了当n为2的方幂时结论成立。

下面证明当n不是2的方幂时结论也成立，它是利用了构造性的证明，其证明思路非常独特！简直让人拍案叫绝！请看：

证明：当n不是2的方幂时，总可以找到一个整数k，使得2?n,

这时取xn+1=

即:

f

即:f

另解：

以n=5为例

因为

所以8f

即:5f

所以f

这就说明，n为2的方幂成立，n不是2的方幂，也成立，过读一任意的正整数n上述都成立。

1.2(加权琴生不等式)设曲线y=fx区间D上的上凸函数x1,x2,?,xn为D上的任意n点，

证明当n=2时，上式即为凸函数定义，所以定理成立.现假设n时定理当n+1时,令∑

这时

所以

f

≥

≥

所以定理对n+1也成立.

1.3(加权琴生不等式推广)设曲线y=f(x)区间D上的上凸函数x?,x?,…,x?为D上的任意n点,ki≥0(i=1,2,…,n),且∑

则有：f

证明：∑i=1nki=p得∑i=1

三、作用(由琴生不等式得出的儿个重要不等式)

1.1杨氏不等式(Young不等式)

已知a≥0,b≥0,p1,q1,且1p+1q=1。则

(当p=q=2时即为重要的基本不等式(a2+b2≥2ab)

1.2(Young逆不等式)已知a0,b0,0p1,且1

则app+b

下面证明1.1不等式

证明：

方法1.利用琴生不等式(1.2)的加权形式解决

(凸函数对数法)设f(x)=lnx，则f(x)=lnx是上凸函数，由琴生不等式的加权形式得，对任意的正数x?，x?,对0λ1,都有.f(λx?+

即:ln(

从而λx1+

app+p?1p?b11?1p≥ab,app+p?1p?b

下面证明逆不等式：

1.2(杨氏Young逆不等式)已知(a0,b0,0p1,且1

则app+b

证明:因为0p1,且p+(1-p)=1,即且1p

1

对任意正数x?，x?，由杨氏不等式可得：x11p

取x1=

即:nb+1?pbp?1pp≥

所以1

这时：app+bqq≤ab当且仅当ap=b

说明：关于杨氏不等式的证明还可以用构造函数，利用导数的思想去解决，下面介绍两种方法

法1.设f(x)=x?-1-m(x-1),m∈(0,1),x0

则fx=mx??1?m=mx??1?1

因为m∈(0,1),所以f(x),为(x0)上的单调减函数,故x=1为f(x)的最大值点。

所以f

由此证明了当x0时.x??1≤mx?1

令x=AB,代入上式A

取m=1p,

a

代入上式得

令则q1?1p=1,

即:a

这时有p1且1

方法2.构造函数f

则fx=x??1?b令fx=x??1?b=0,则x=b1p?1

即app+bqq

所以1p?1=qp,所以

上述方法特绝！

2.1赫尔德(Holder)不等式

设a?,b?(1≤i≤n)是2n个正实数，α0,β0,α+β=1,

则a

证法1