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九年级数学中考培优((旋转平移)

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2015-2016九年级数学培优辅导

专题五：旋转问题

1.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．?

(1)求证：AE⊥BF；?

(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；?

(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

?

2.在平面直角坐标系中．已知O坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转转角为α，∠ABO为β。

（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；?

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；

（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出即如果即可）。

3.如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．

（1）求点C的坐标；

（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）

（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式．

4.已知正方形的边在轴上，在轴上，点与原点重合，点在第一象限．△是等边三角形，点在第二象限．为对角线（不含点）上任意一点．

（Ⅰ）如图①，若，当的值最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，，．

①求证△≌△；

图①图②((B

图①图②

((B)

((B)

2015-2016九年级数学培优辅导

专题六：平移问题

1.在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板OAB和DCE重叠在一起，∠AOB=60°，B（2，0）.固定△OAB不动，将△DCE进行如下操作：

O

O

A

A

A

B

O

O

B

B

D

D

D

E

E

E

C

C

C

x

x

x

y

y

y

图①

图②

图③

(Ⅰ)如图①，△DCE沿x轴向右平移(D点在线段AB内移动)，连结AC、AD、CB，四边形ADBC的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由.

(Ⅱ)如图②，当点D为OB的中点时，请你猜想四边形ADBC的形状，并说明理由.

(Ⅲ)如图③，在（Ⅱ）中，将点D固定，然后绕D点按顺时针将△DCE旋转30°，

在x轴上求一点P，使最大．请直接写出P点的坐标和最大值，不要求说明理由．

2.在平面直角坐标系中，已知点，点，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.

（Ⅰ）如图①，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△，连接.

①设，其中，试用含的式子表示，并求出使取得最小值时点的坐标；

②当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）．

图①图

图①

图②

3.如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝EQ\F(1,2)x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y＝EQ\F(1,2)x2＋bx＋c向上平移EQ\F(7,2)个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）

A．

①②

B．

②③

C．

①③

D．

①④

9.如图，Rt△AOB的两直角边OB、OA分别位于x轴、y轴上，OA=6，OB=8．

（1）如图1，将△AOB折叠，点B恰好落在点O处，折痕为CD1，求出D1的坐标；

（2）如图2，将△AOB折叠，点O恰好落在AB边上的点C处，折痕为AD2，求出D2的坐标；

（3）如图3，将△AOB折叠，点O落在△AOB内的点C处，OD3=2，折痕为AD3，AD3与OC交于点E，求出点C的横坐标．

10.将矩形纸片O