常微分方程数值解法.doc

i.常微分方程初值问题数值解法

常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。

i.1常微分方程差分法

考虑常微分方程初值问题：求函数满足

（i.1a）

(i.1b)

其中是定义在区域:,上的连续函数，和是给定的常数。我们假设对满足Lipschitz条件，即存在常数使得

（i.2）

这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值。

通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler法。为此，首先将求解区域离散化为若干个离散点：

（i.3）

其中，称为步长。

在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在处，在（i.1a）中用向前差商代替微商，便得

如果忽略误差项，再换个记号，用代替便得到

一般地，我们有

（i.4）

从(i.1b)给出的初始值出发，由上式可以依次算出上的差分解。

下面我们用数值积分法重新导出Euler法以及其它几种方法。为此，在区间上积分常微分方程（i.1a），得

（i.5）

用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公式就得到Euler法（i.4）。如果用右矩形公式，便得到下面的：

（i.6）

类似地，如果用梯形公式，就得到

(i.7)

当关于是非线性函数的时候，不能由（i.6）或(i.7)从直接算出，称这一类方法为隐式，通常采用某种迭代法求解。例如，将一般的隐式方法写成

(i.8)

则可以利用如下的迭代法由算出：

(i.9)

关于的迭代通常只需进行很少几步就可以满足精度要求了。

为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦，比如说对于改进的Euler方法（i.7），可以采用某种预估法近似算出，然后再用（i.7）作校正，这就导致所谓预估校正法。下面给出一个例子：

（i.10）

这是一个多步法，即计算节点上的近似值时，除了用到前一点的近似值之外，还要用到，甚至可能用到。而用前面的各种Euler法计算节点上的近似值时，只用到，这样的方法称之为单步法。

下面给出另一个多步法的例子。在区间上积分（i.1a），得

用Simpson公式(即把被积函数看作二次函数)近似计算积分，便得到

（i.11）

用多步法（i.10）或（i.11）计算时，必须先用某种单步法由计算出，称为造表头。然后再逐次算出。

一般说来，多步法比Euler法等简单的单步法精度要高一些。下面我们讨论一类所谓Runge-Kutta法。他们是单步法，但是其精度可以与多步法比美。最常用的是下面的标准Runge-Kutta法和Gear法：

标准Lunge-Kutta法

（i.12）

(i.13)

从几何上，Runge-Kutta法可以粗略地解释为：在区间中选取若干个点(可以重复)，仅仅利用在区间内可以得到的所有信息，依次给出函数在这些点上尽可能精确的的近似值，然后把它们组合起来，尽可能精确地近似计算（i.5）中的积分。下面介绍Runge-Kutta法的一般构造方式。

选定常数，令