2025届高考数学精准突破复习：导数在研究函数极值和最值中的应用.docx

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2025届高考数学精准突破复习

导数在研究函数极值和最值中的应用

【必备知识】1．极值点与极值

如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；

而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

2．函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

【必备技能】1.求函数y＝f（x）的极值的方法

解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：

（1）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

（2）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．

2．函数在区间[a，b]上最值的求法

一般地，求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值；

（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【考向总览】

考向一求已知函数的极值点/极值（★★★★）

考向二求已知函数的最值（★★★）

【考向归类】

考向一求已知函数的极值点/极值

【典例1-1】

（22-23高二上·江苏徐州·期末）

1．函数的极小值为（）

A． B． C． D．

【典例1-2】

（23-24高二下·陕西·开学考试）

2．函数的极小值点为，极大值为．

【备考提醒】1．利用导数求函数极值的主要步骤：

求y＝f′（x）→解方程f′（x）＝0→判断f′（x）在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值．如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则x0不是极值点．

2．可导函数的极值点一定是导数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号．

3．一般地，列表分析x，y′，y的变化情况是求极值的有效方法，也可画出导函数图象判断极值情况．

【举一反三】

3．函数在区间上的极值点的个数为．

（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）

4．函数的极值点是（????）

A． B．

C． D．

（23-24高二上·浙江宁波·期末）

5．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.

(1)求的值；

(2)求函数的极值.

考向二求已知函数的最值

【典例2-1】

（22-23高二下·江苏南通·期中）

6．已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为（????）

A． B． C． D．0

【典例2-2】

（22-23高二下·河南·期中）

7．已知函数，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【备考提醒】求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的方法：

（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；

（2）计算函数f（x）在区间（a，b）内使得f′（x）＝0的所有点以及端点的函数值f（a）与f（b）；

（3）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．

【举一反三】

（22-23高二下·江苏南京·期末）

8．已知函数，且当时，有极值．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值．

（2024高二下·上海·专题练习）

9．已知函数.

(1)求函数的最小值；

(2)求函数过点的切线；

【必备知识】1．极值点与极值

如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；

而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

2．函数f（x）在闭区间