几何学与力学.ppt

一些重要变换的历史1904年罗伦茨（H.Lorentz，1853-1928）引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离是不变量。其中c是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。第21页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，，设给定初值为，它的解是（1）这个解实际上给出了从到的一个带参数t的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。第22页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史设为的任一函数，一般来说如果（2）则就是在变换（1）之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。第23页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德A.M.Legendre1752－1833第24页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德变换是从以下偏微分方程出发的（3）其中令，再令R、S、T仅是p、q函数。一些重要变换的历史第25页,共41页，2024年2月25日，星期天令曲面的切平面为（4）则应当有（5）（4）式就在函数变量x,y与p,q之给出了一个变换。即第26页,共41页，2024年2月25日，星期天由(4)微分得第27页,共41页，2024年2月25日，星期天把以上结果代入（3）就得到（5），这一变换可以把一个拟线性方程化归为一个线性方程求解。第28页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德变换的一般提法把以上思想推广。设有n个自变量的函数它具有直到二阶的连续微商，取新的一组变量(6)第29页,共41页，2024年2月25日，星期天它们组成对的一组变量替换，设其Jacobi行列式从（6）就可以把原变量反解出来。得（7）（8）考虑新函数第30页,共41页，2024年2月25日，星期天可以证明（9）在勒让德变数替换下，两个函数U，和的关系由（8）给出，对应的变量与函数的关系由（6）和（9）给出。它概括了力学与物理上各种作用量之间的关系。第31页,共41页，2024年2月25日，星期天在力学中常见的内能与自由能之间有关系