极限知识点总结及高考题萃.doc

极限

第一部分知识点

第二部分六年高考题萃

考试内容：

?教学归纳法．数学归纳法应用．

数列的极限．

函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．

考试要求：

（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

（2）了解数列极限和函数极限的概念．

（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

极限知识要点

1.=1\*GB2⑴第一数学归纳法：=1\*GB3①证明当取第一个时结论正确；=2\*GB3②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.

=2\*GB2⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果

=1\*GB3①当（）时，成立；

=2\*GB3②假设当（）时，成立，推得时，也成立.

那么，根据=1\*GB3①=2\*GB3②对一切自然数时，都成立.

2.=1\*GB2⑴数列极限的表示方法：

=1\*GB3①

=2\*GB3②当时，.

=2\*GB2⑵几个常用极限：

=1\*GB3①（为常数）

=2\*GB3②

=3\*GB3③对于任意实常数，

当时，

当时，若a=1，则；若，则不存在

当时，不存在

=3\*GB2⑶数列极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

=4\*GB2⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3.函数极限；

=1\*GB2⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.

注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）

如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.

=2\*GB2⑵函数极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

（）

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

=3\*GB2⑶几个常用极限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

=4\*GB3④，（）

4.函数的连续性：

=1\*GB2⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.

=2\*GB2⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.

=3\*GB2⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.

5.零点定理，介值定理，夹逼定理：

=1\*GB2⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.

=2\*GB2⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.

=3\*GB2⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有

注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）

6.几个常用极限：

①

②

③为常数）

④

⑤为常数）

极限汇编

六年高考荟萃

20XX年高考数学分章汇编

极限与连续性

一、选择题:

1.(20XX年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，

又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个

圆的面积之和，则

A．B.

C.D.

【答案】C

2．（20XX年高考四川卷理科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是

（A）（B）（C）（D）

解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.

答案：D

3．（20XX年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则

（A）0（B）（C）1（D）2

解析：由,且

作差得an＋2＝2an＋1

又S2＝2S1＋