常微分方程试题及参考答案.doc

常微分方程试题

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.常微分方程中的自变量个数是________.

2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.

3.微分方程=g()中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.

4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=(t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.

5.方程=(x+1)3的通解为________.

6.如果函数f(x,y)连续，y=?(x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件?(x0)=y0的解.则y=?(x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的连续解.

7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.

8.方程+a1(t)?+…+an-1(t)?+an(t)x=0

??中ai(t)??i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t)应具有的性质是：________.

9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.

10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.

11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化为与之等价的一阶方程组________.

12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________.

13.方程组

??的奇点类型是________.

二、计算题(共45分)

1.(6分)解方程

???=.

2.(6分)解方程

???x″(t)+?=0.

3.(6分)解方程

???(y-1-xy)dx+xdy=0.

4.(6分)解方程

5.(7分)求方程：

?????S″(t)-S(t)=t+1

??满足S(0)=1,(0)=2的解.

6.(7分)求方程组

?

的基解矩阵Φ(t).

7.(7分)验证方程：

??

?有奇点x1=1,x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.

三、证明题(每小题8分，共16分)

1.设f(x,y)及连续，试证方程

?????dy-f(x,y)dx=0

?为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.

2.函数f(x)定义于-∞x+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0N1,证明方程

???x=f(x)

?存在唯一的一个解.

?

常微分方程试题参考答案

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.??????1

2.2+c1t+c2

3.u=

4.?c为任意常数

5.y=(x+1)4+c(x+1)2

6.y=y0+

?

7.(x)=

8.对任意t

9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t

10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)

11.????x1(1)=1,x2(1)=2,x3(1)=3

12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+]

13.焦点

二、计算题（共45分）

1.?解：将方程分离变量为

???????

?改写为

?????

?等式两边积分得?

?????y-ln|1+y|=ln|x|-

?即?y=ln??或???ey=

2.?解：令?则得??

????=0

?当0时

??????-

?????arccosy=t+c1

?????y=cos(t+c1)????即

????则x=sin(t+c1)+c2

??当=0时

????y=?即

x?

3.?解：这里M=y-1-xy,?N=x

???

?令u=xye-x

?u关于x求偏导数得

?与Me-x=ye-x-e-x-xye-x?????相比有

????????????则????

?????????????

因此

???????u=xye-x+e-x

?方程的解为???xye-x+e-x=c

4.?解：方程改写为

?????

?这是伯努利方程，令

?????z=y1-2=y-1????代入方程

?得?

?解方程??z=

????