常微分方程6.1非线性微分方程的稳定性.pptVIP

*6.1非线性微分方程的稳定性*例1考虑一阶非线性微分方程组的零解的稳定性。解对应的线性近似方程组的特征方程即霍维茨行列式为根据定理3,特征方程的根均具负实部。由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳定的。*6.1非线性微分方程的稳定性*例2对三次代数方程其中a0,b0,c0.考虑其根均具负实部时参数c的变化范围.解：对应方程,有赫尔维茨行列式由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c1及?20,即*6.1非线性微分方程的稳定性*作业（2）；。*6.1非线性微分方程的稳定性*§6.2V函数方法（继续判定零解的稳定性）考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14)，其中f(x)在某域G:||x||≤A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。显然，x=0是其特解。V函数定义假设V(x)为在域||x||≤H内定义的实连续可微函数,V(0)=0函数。如在域内恒有V(x)≥0，则称为常正的；V函数也称为李雅普诺夫函数。*6.1非线性微分方程的稳定性*如在域内当x≠0时有V(x)0，则称为定正的；如-V是定正(常正)的，则称为定负(常负)的。当V(x)对所有变元的偏导数存在且连续时，可将方程组(14)的解代入后再对t求导得此导数称为通过方程组(14)的全导数。*6.1非线性微分方程的稳定性*V函数的例例1函数常正；定正；在域x2+y2π上定正，在全平面变号；当a0,4ac-b20时定正，当a0,4ac-b20时定负；*6.1非线性微分方程的稳定性*李雅普诺夫定理定理4如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14）的零解是稳定的。如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。如果存在函数V(x)和某非负常数μ，其通过方程组(14)的全导数可表为且当μ=0时W为定正函数，当μ≠0时W为常负函数或恒为零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)0，则方程组（14）的零解是不稳定的。证明方法见后面几何解释，详细证明略。*6.1非线性微分方程的稳定性*稳定性的几何解释在由未知函数x组成的n维相空间(x)中，方程组（14）的解在相空间中的轨迹为轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定时，其原点附近的由||x0||≤ε为初值出发的轨线x(t)均停留在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭曲面一层层趋于原点。平面一阶微分方程组的相空间为平面。相平面上V(x)=c为闭曲线族。轨线的走向如图(6.3)所示。*6.1非线性微分方程的稳定性*例4讨论平面一阶微分方程组零解的稳定性态。解其线性近似方程组x’=-y,y’=x的特征方程λ2+1=0的根为λ=±i，属于临界情形。如取定正函数根据定理4有（1）如a0，则dV/dt定负，方程组的零解为渐近稳定；（2）如a0，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；（3）如a=0，则dV/dt=0，方程组的零解稳定。注定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x)定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x)定正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x)≥W(x)。*6.1非线性微分方