第五章--直线、平面的相对位置.ppt

［例1］试求点K到△ABC的距离分析：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，并求出垂线与平面的交点(垂足)，然后确定该点到垂足之间线段的实长。1）在△ABC上任作一水平线BD（bd，b′d′）和正平线AE（ae，a′e′）；2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd，k′l′⊥a′e′，得垂线KL（kl，k′l′）；3）过KL作辅助面P，求出垂足F（f，f′）；4）用直角三角形法求出KF的实长K1f，则K1f即为所求的距离。［例2］求A点到P平面的距离1）作AK⊥P；2）过AK作正垂辅助面Q；3）求平面P、Q的交线MN；4）求MN与AK的交点K；5）求AK实长kA1。在投影图上，除了可用一组几何元素或平面迹线表示平面外，尚可用平面的法线表示平面。用法线表示的平面称为法线平面。法线平面的三个投影用n、n′、n″标注。［例3］已知一个过A点的法线平面(N为法线)，试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面1）过A点作水平线AK，使ak⊥n；2）过K点作正平线KL，使k′l′⊥n′；3）KA、KL两相交直线即为所求。3.2平面与平面垂直如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面（图a）；反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图b）。(a)(b)［例1］试过EF直线作一平面垂直于ABCD平面解：自EF直线上的任一点E，向ABCD平面作垂线EH，则FEH平面垂直于ABCD平面，即为所求。［例2］试判断△ABC、△DEL两平面是否相互垂直1）自△DEL上任一点，如E点，作直线EF垂直于△ABC；2）在EF上除E点外，任取一点，如F点，检查F点是否在△DEL平面上。由图5-29可见，F点不在△DEL平面上，故两平面不垂直。3.3两一般位置直线垂直解决两一般位置直线相互垂直的投影作图的根据是：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。［例］试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交1）过A点作水平线AD⊥BC，作正平线AE⊥BC；分析：由于BC为一般位置直线，过A点与BC垂直且相交的直线也是一般位置。所求直线必在过A点且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和A点的连线，即为所求2）求BC直线与平面（AD、AE确定）的交点K（k，k′）；3）连接A、K，则AK（ak，a′k′）即为所求。§4点、线、面综合题及其解法4.1解题的一般步骤1)分析题意主要是分析清楚已知条件和欲求的结果，以及其应满足的条件。2)确定解题方法和步骤在分析题意的基础上，确定解题方法，设想解题的空间步骤。这是解题的关键。3)投影作图这一步是将设想的解题步骤，逐步绘制在投影图上，最后求出结果，完成作图。4.2解题方法4.2.1综合分析法从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理，最后得到所要的结果［例］试过点K作直线KL，使其同时垂直于两相错直线AB、CD分析：由已知条件可知，所要求的直线KL，应满足三个条件：KL过K点，KL⊥AB及KL⊥CD。因要求KL同时垂直于AB和CD，因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平面P2）作KL⊥P，则直线KL即为所求。1）过B点作BE∥CD，则AB、BE确定了前述平面P；4.2.2轨迹相交法它适用于有两个或多个作图条件的问题。单独考虑每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交点即为所求的结果。［例］已知一直角三角形ABC，其中AB为一直角边，另一直角边AC平行于R平面，且C点距V面20mm，试完成该三角形的两投影1）包含A点作平面P⊥AB；2）包含A点作平面Q∥R；3）求平面P、Q的交线AL；4）在AL上取C点，使C点距V面的距离为20mm；5）连接B、C两点，则△ABC即为所求的直角三角形。4.2.3辅助作图法辅助作图法是解画法几何题经常使用的方法，例如在解决从属关系作图时要作辅助线，在求公共元素(如交点、交线)时要作辅助面。［例］试过点A作直线AB，使其对H面的倾角α＝30°，对V面的倾角β＝45°，且实长为25mm分析：由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：AB过A点；α＝30°；β＝45°；L＝25mm。1）在正投影图以外先画出辅助直角三角形，图解求出ab、ΔZ和a′b′、ΔY；2