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三角形面积公式的五种推导方法图文稿

三角形面积公式的五种

推导方法

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三角形面积公式的五种推导方法

摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计

算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式

不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？

四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形

和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；

五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三

次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是

“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。

我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个

“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：第一步

没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。

第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是

“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是

所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻

的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是

学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最

简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有

一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化

未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它

的基础却在小学

阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔

带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很

多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下

面环节的引言。

第四步。转化是一定的。但是，转化成什么怎么转化把三角形转

化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如

图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位

置。

前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方

法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些

经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前

面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对

“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切

割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这

个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模

仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变

三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形

面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个

三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，

但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，

再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

教材中还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个“全等”三角

形进行拼接时，是一个尝试的过程。教材举例说：小华拼出了一个长

方形

一个平行四边形。小林拼出了两个三角形一个人拼的全是能利

用的，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。我们想这不是

教材的疏漏，是为了突出教学任务和目标。另外，教材举的例子是两

个三角形能拼成一个长方形和一个平行四边形。但实际上能拼成两个

平行四边形，加上长方形就是有三个图形是已经学习过的，都能用来

推算三角形面积。教材忽略这个没有列出的平行四边形，我们猜可能

是因为它的倾斜度过大，在视觉上有一种要“倒”的感觉。如果学生

受视觉效果的影响，注意力分散，会影响到他们分析两种图形的底、

高和面积的关系。也可能是基于简单化原则，有两个就够了，何必要

三个。但是按这个说法，要一个就够了，何必两个。

按照教材设定的思路，我们可以设想：学生手拿三角形，听老师

布置完任务。怎么拼，能拼出什么都不太清楚，只能先随便的拼一下

试试。如果运气好或者预想能力较强，可能直接拼出平行四边形和长

方形。学生在试验时，会发现不等边拼接没有后续效果，因为这些组

合图形都不规则，不能把握。然后，学生会把注意力放在那些特殊图

形上。一类是那些中心对称的平行四边形，这是学习过的内容；一类

是那些左右对称的凸多边形，这是好奇心驱使，随后即会放弃。学生

的试验，开始可能是无