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浅谈命题的否定及其应用

简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.?

一、常见语句的否定?

①联言命题“1p且2p且?且np”的否定是“1p或2p或?或np”.?

②选言命题“1p或2p或?或np”的否定是“1p且2p且?且np”?

③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是”?

④“至少有一个(n个)”?的否定是“一个也没有(至多有n-1个)”?

⑤“至多有一个(n个)”?的否定是“至少有两个(至少有n+1个)”?

⑥“对任意x∈A,使P(x)成立”的否定是“存在x∈A,使P(x)不成立”?

⑦“存在x∈A,使P(x)成立”?的否定是“对任意x∈A,使P(x)不成立”

二、常见否定命题的应用

例1．写出下列命题的否命题??????

(1)有些三角形是直角三角形;??(2)所有的质数都是奇数?.

分析:(1)学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.??????????

(2)学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.

例2．若在[-1,1]上至少存在一点C使??0fC?,求实数a的取值范围.?

解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是:??在[-1,1]不存在点C使0∈C，即对任意x∈[-1,1],fx≤0?.????

∴有?解之得

或.故实数a的取值范围为?.?

注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.