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高等数学研究Vo1．1O，NO．4
106STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSJu1．，2007
常微分方程的通解
钱明忠陈友朋(盐城师范学院数学科学学院江苏盐城224002)
摘要给出常微分方程通解的定义，研究常微分方程的通解和所有解之间的关系，给出通解包含所有解的
若干充分性条件．
关键词通解；常数独立；所有解中图分类号0175．1
常微分方程的通解和所有解是两个不同的概念，但不少教材未将这两个概念说清楚，甚至于将
两者混淆起来，例如文献[1][2]等，给学生理解和求解常微分方程带来了困难．事实上，有些方程
的通解就不包含所有解．例如方程￡一等的通解为arcSiny—arcSinx+C，其中c为任意常
数，而Y一1也是该方程的解，它不包含在通解之中；又如Y=0是方程_dy—Y一()。的一个解，
它不包含在该方程的通解Y—T再(c为任意常数)之中·
本文将给出常微分方程通解的定义，同时研究常微分方程的通解和所有解之间的关系，然后给
出通解包含所有解的若干充分性条件，证明过程突出通解定义中的“常数独立”条件的验证这一关
键，为进一步区分通解和所有解带来了方便．
考虑如下一般的阶常微分方程
F(xgy9dy
，…，)一0．(1)
定义若函数y一(，c，c。，…，c)、是方程(1)的解，且其中的任意常数c，f。，…，c独立，
即，，，…，“广”关于C，C2，…，C的雅可比(Jaeobi)行列式
望翌!翌：!：：：!翌n
．
D(c1，2，…，c))
其中(足一1，2，…，一1)表示对的足阶导数．则称y—p(x，c，c。，…，)为常微分方程(1)
的通解．如果关系式(，Y，，cz，…，)一0所确定的隐函数Y—p(x，c，c。，…，)为方程(1)的
通解，则称关系式(，Y，C，Cz，…，)=0为方程(1)的隐式通解，也简称为方程(1)的通解．
对于一般的常微分方程，其通解不一定包含所有解而仅仅是所有解的一部分．但在一些特殊情
形下，方程的通解包含它的所有解．例如，n阶线性微分方程。
dy()+．．
·+()塞(一)，(2)
其中a()(一1，2，…，)及厂()为区间[口，6]上的已知连续函数，则有如下结论：
定理1设Y()，Yz()，…，Y()为方程(2)所对应的齐次线性方程
dy()+．．
·~-an--1()塞(一0
*收稿日期：2006—02—08；修改稿：2007—05—25
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第1O卷第4期钱明忠，陈友朋：常微分方程的通解
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