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第43讲柯西不等式

柯西不等式是不等式中的经典之一。本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明

不等式等方面的应用。

柯西不等式的二维形式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设，是实数，则

，当且仅当

或存在一个数，使得时，等号成立。

柯西不等式的变形形式：

变形1.设，，则当且仅当时，等号成立。

变形2.设，同号且不为0，则

，当且仅当时，等号成立。

对于柯西不等式的一般形式，我们将在本节的附录里给出证明。

A类例题

例1为正的常数，，，求的最小值。

分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式

取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，可看作，如再能出现，则可用，注意到

解法一：用柯西不等式

，因此，当且仅当，即时，取得最小值。

解法二：用平均值不等式

，同时可以算得，当且仅当时，即时取得最小值。

说明：解法一和解法二都作了凑配，凑配之后，才能用上相应的不等式。

例2如图已知为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求使的值最小的点。

（第22届IMO）

分析：由，，可得，

（为面积，是常数）。有了

就可以使用柯西不等式了。

解：，据柯西不等式

，因此

，当且仅当，也即时，取得最小值，易知为之内心。

例31）已知，求证。

2）已知为锐角，则的充要条件是。

1）分析：如果把分别看作，那么

，其形式已经具备柯西不等式的特征。

证明：，即得

，由已知及柯西不等式，当且仅当时，上式取等号，所以。

2）分析：必要性是显然的。我们来证充分性。即如为锐角，，则。为了能够使用柯西不

等式，我们可以配上一个因式

证明：据柯西不等式

，也就是

，即，又不可能大于1，因此

，为锐角，故。

说明：利用柯西不等式来证等式，主要是利用其取等号的充要条件来达到目的。从这两

题证明过程看，用柯西不等式要比别的方法简捷一些。

情景再现

1.解方程

2.已知，求的最小值。

3.设，且，求证

B类例题

例4已知是实数，满足，，试确定的最大值。（第七届

美国数学竞赛题）

分析：柯西不等式中有两组数，，因此可用柯西不等式的关键一定要构造出两组数，而

且一个或两个和式应该和柯西不等式的某一因式结构相同。为此，可以写成，这样就有了两

组数及。

解：据柯西不等式

，也就是。因为，

，我们得到

。当时，。

说明：本题解法适用于同类型的问题，要紧的是问题的结构，而不在乎题目中字母的多

少。

例5设，其中，是任意给定的自然数，且，证明：，当时成立。（1990年全国高考题）

分析：由已知，

，要证，只要证

，即证

……..（*）

把不等式（*）右边的第一个因子看作，将分别写成，则不等式（*）具有明显的柯西不等式

特征。

证法一：用柯西不等式

由于，均互不相等，据柯西不等式

，取对数得，

，也就是。

证法二：用数学归纳法

先证明时，（*）式成立。

假如，，则，假如，，因为，所以，因而时，（*）式成立。

假设当时，（*）式成立，即有

，那么，当，时，

，这就是说当时，（*）式也成立。因此（*）对任何的自然数都成立，也即成立。

例6设，证明不等式

（2003年全国高中联赛）

分析：注意到中的系数和为零。

，对该式右端的后三个根式用柯西不等式。

证法一：，

据柯西不等式，

，于是有

，又因为，所以，因此

，只需证

，因此原不等式成立。

证法二：据柯西不等式可得，据此

，由于，因此，又

三式不可能同时相等，故得。

说明：本题两种证法运用柯西不等式的方式稍有不同，但效果却是一样的，不过也有区

别。证法一得到的不等式比原题要更强一点。

例7设（）是的任意一个排列，求证：

（首届女子数学奥林匹克）

分析：无法确