第2章-有限元法的直接刚度法-平面刚架.ppt

第二章有限元法的直接刚度法第二节平面刚架的有限元分析第一节直梁的有限元分析第二节平面刚架的有限元分析平面刚架的基础知识：2.平面刚架横截面上的内力1.平面刚架：所有杆的轴线在同一平面内，各杆之间为刚性连接。例求如图所示平面刚架1-1横截面的内力用截面法求内力根据平衡，得刚架横截面上的内力有三个：轴力T剪力q弯矩m}拉压与弯曲的组合变形。3．刚架单元的节点力、节点位移刚架单元每个节点有三个节点力轴力T剪力q弯矩m{三个节点位移{轴向位移Δ横向挠度f截面的转角θ一、划分单元、对单元和节点编号结构的整体刚度矩阵是一个的矩阵。单元：6个节点：4个{{结构自由度每个节点3个自由度个自由度二、单元刚度矩阵1、单元的节点力、节点位移任取一个单元，设单元号为e，两个节点分别为i、j。局部坐标：局部坐标只对该单元有效，每一个单元有一个局部坐标。以下对该单元所进行的分析都在这个局部坐标系下进行。在局部坐标系下，两个节点的节点位移为：节点力为：单元的节点位移为：节点力为：规定：剪力q与轴正向一致为正；弯矩m逆时针方向为正；轴正向一致为正。轴力T与2、单元刚度矩阵求轴向节点位移、与轴向节点力、之间的关系根据材料力学的知识，在线弹性范围内，轴向位移Δ只与轴向力T有关，弯曲变形的挠度f和截面转角θ只与剪力q和弯矩m有关。这样可分别按轴向拉压和弯曲来进行分析。(1)轴向拉压：轴向拉压杆的轴向变形与轴向力之间的关系为线形关系：各元素的物理意义：是，时，、的值；、是，时，、的值；、求各元素：得：根据平衡同理求得得：(2)弯曲变形刚架单元弯曲变形的挠度f、截面转角θ与剪力q、弯矩m之间的关系完全等同于直梁单元的关系，即有：(3)刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵刚架单元的所有节点力和节点位移之间的关系为：分块形式为：——刚架单元在局部坐标系下的有限元基本方程或刚架单元在局部坐标系下，单元刚度矩阵的通用公式为：分块形式为：将局部坐标系下平面刚架的单元刚度矩阵的通用公式应用于每一个单元，即把每一个单元的参数E、I、l、A代入上述通用公式，即得该单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵。三、单元刚阵的坐标变换坐标变换：把所有单元在局部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系称为整体坐标系。以e单元为例：设i节点变形后的位置为，i节点在局部坐标下的位移为在整体坐标下的位移为：x轴与x’轴之间的夹角为，则有节点对应的转角在两个坐标系下是一样的，则有同理可得分块形式为或：刚架单元e的坐标变换矩阵，描述在局部坐标系和整体坐标系下节点位移分量之间的变换关系。对整个单元，有：★对于不同的单元，坐标变换矩阵有相同的形式，只是角不同。例：如图所示1单元的坐标变换矩阵在前面的推导中，把节点位移改成节点力，同理可得节点力的坐标变换式与节点位移的坐标变换具有完全相同的形式，即有——单元局部坐标下的节点力列阵——单元整体坐标下的节点力列阵将节点位移的坐标变换式和节点力的坐标变换式代入单元局部坐标系下的基本方程：得：将上式两端各左乘以的逆矩阵因为所以有则单元在整体坐标系下的单元刚阵为可以证明则上式变为—单元刚度矩阵的坐标变换式通过单元刚度矩阵的坐标变换，可求出平面刚架的所有单元在整体坐标下的单元刚度矩阵。四、整体刚度矩阵本结构共有12个自由度，若采用第一种方法，即对整个结构的每个节点进行受力分析，通过建立节点平衡方程式得到有限元基本方程和整体刚度矩阵，则共需列出12个方程，非常复杂。所以还是采用第二种方法，即采用叠加法来形成整体刚度矩阵。(1)首先将单元刚度矩阵写成分块形式e:为单元号；：表示第e个单元在i节点的节点力向量；：i节点的节点位移向量；：e单元上，j节点单位位移在i节点引起的节点力向量。(2)将整体刚度矩阵写成分块形式（分块形式的阶数等于结构的节点数）单元①单元②(3)填充每一个分块，并进行叠加从而形成整体刚度矩阵。是整体坐标系下整个结构的节点载荷列阵；是整体坐标系下整个结构的节点位移列阵；称为结构的整体刚度矩阵。则得到平面刚架的有限元方程{}[]{}dKQ=五、求解有限元基本方程代入位移