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第六章：弹性力学平面问题

主讲：侯鹏飞固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年7月。外载约束§6.1平面应力与平面应变问题、基本方程§6.2平面问题的一般求解方法§6.3梁的弯曲问题§6.4极坐标系中平面问题的基本方程§6.5曲梁的弯曲问题§6.6圆孔边的应力集中问题§6.7楔形体问题§6.8半无限平面体问题平面问题小结（由厚到薄）想法：以上方法虽然思路完整，但并不简洁！虽然对于力学专业的同学应该从全局上掌握，但仍然有必要总结出更为简洁和紧凑的方法。因为在保证准确度的前提下，熟练程度是体现价值的第二指标！1.最好是利用应力边界条件方程精确提出，并精确满足；次要边界应力边界条件的简洁提法：对本问题有：因为精确满足所有的边界条件比较困难，更何况在同一边界上不连续的边界条件。所幸本问题可以采用第二式。2.如不能精确满足，则考虑利用圣维南原理近似提出，并有如下简洁方法(两步走)：2.1.将次要边界露在表面上的正向的应力做为解所对应的面力；2.2.然后建立该面力与外载荷的静力等效方程。分以下两部分：2.2.1.对于切向的面力(剪应力)和外载分量，简单地合力等效即可；对本问题有：2.2.2.对于法向的面力(正应力)和外载分量，则合力和合力偶等效齐备，尽管有时其中一个自动满足。对本问题有：其中第一式自动满足。给出如下悬臂梁在边界x=0上的圣维南边界条件。6.2.3三角级数解法思想：与多项式无本质区别，只是所使用的双调和应力函数变为三角级数。思想：应力函数方法使用进级。思路：1、构造应力函数?；2、利用协调方程确定待求函数和待定常数；3、利用应力和应力函数的关系式给出应力；4、利用应力边界条件确定待定常数；5、利用本构方程确定应变；6、利用几何方程和位移边界条件求位移。要求：掌握2、3、4、5，了解1和6。6.3.1悬臂梁的弯曲例题1：考察一根长为l，高为h的薄矩形截面悬臂梁(图6-8)，厚度取单位值，自由端面上受切向分布力作用，其合力为P，不计体力。试分析其应力场和位移场。1、构造应力函数?（思维是发散的）；解：利用材料力学初步构造应力的基本形式，然后利用应力和应力函数的关系给出应力函数的基本形式：(1)这是一个平面应力问题。求解如下：2、利用协调方程确定待求函数和待定常数；将式(1)代入双调和方程(2)，有要使上式对任意y成立，必有积分以上两式，且注意?中的x和y的线性项不影响应力分量（即只需取二次及二次以上项），故取(3)则应力函数可写为(4)3、利用应力和应力函数的关系式给出应力；对应的应力分量为(5)4、利用应力边界条件确定待定常数；本问题的边界条件为(6)问题：x=l是不是边界？将(5)代入(6)式，有(7)将(7)代入(5)式，得应力分量(8)材料力学的解为(9)两者完全相同，且层间无挤压。5、利用本构方程确定应变；将应力分量(8)代入平面应力问题本构方程，得(10)6、利用几何方程和位移边界条件求位移（P182）。注意悬臂梁位移边界条件的提法：(11)6.3.1悬臂梁的弯曲例题2：再考察与以上相同的悬臂梁受均布载荷作用时(图6-9)的情况。与例题1完全类似。注意各个环节，特别是边界条件。努力培养准确快速完成工作的能力！应力函数：应力分量：主要边界：次要边界：6.3.2简支梁的弯曲例题3：设有矩形截面简支梁(图6-10)，长为l，高为h，取单位厚度，不计体力，在上边界受均布载荷q作用，由两端的反力ql/2维持平衡。试分析其应力场。仍然与例题1类似。关注边界条件如下。应力函数：应力分量：主要边界：次要边界：应力函数方法获得的解：第二章中所得解：问题出在哪？有必要将现在用应力函数方法获得的解与在第二章中用材料力学以及平衡方程和应力边界条件所得解做一个比较。有没有感觉自己在进步！另外：对于6、利用几何方程和位移边界条件求位移。注意简支梁位移边界条件的提法：平面应力和平面应变的基本概念和方程一般解法：应力函数法直角坐标系下解平面问题极坐标系下解平面问题坐标和物理量坐标：r、θ；位移：ur、uθ；应力：σr、σθ、τrθ；应变：εr、εθ、γrθ；微元：dr、dθ；基本方程直角坐标、柱坐标（平面：极坐标）和球坐标都是正交坐标系统，在不同坐标下的基本方程和求解公式有相当的可比性（特别是本构方程和应力边界条件）。参见P187~191的式(6-30)~(6-38)。需要记忆几何方程(6