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函数知识点复习

同一函数的概念：构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

=1\*GB2⑴下列各组函数是同一函数的是（）

①与；②与；③与；④与。

A、①②B、①③C、③④D、①④

=2\*GB2⑵判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）

⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，

A、⑴、⑵ B、⑵、⑶ C、⑷ D、⑶、⑸

2.函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且。如

（1）函数的定义域是____。

（2）若函数的定义域为R，则_______

(答：)；

（3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________

(答：)；

（4）设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围

①；②）

2．复合函数的定义域：如

（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________

（答：）；

（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________

（答：[1,5]）

3.求函数值域（最值）的方法：

1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如

（1）求函数的值域

（答：[4,8]）；

（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___

（答：）；

（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为______

（答：[2,5]）

2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如

（1）的值域为_____

（答：）；

（2）的值域为_____

（答：）

3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如

求函数，，的值域

（答：、（0,1）、）；

4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如

求，，的值域

（答：、、）；

5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如

（1）已知点在圆上，求及的取值范围

（答：、）；

（2）求函数的值域

（答：）；

（3）求函数及的值域

（答：、）

注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。

6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

①型，可直接用不等式性质，如

求的值域

（答：）

②型，先化简，再用均值不等式，如

（1）求的值域

（答：）；

（2）求函数的值域

（答：）

③型，通常用判别式法；如

已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值

（答：）

④型，可用判别式法或均值不等式法，如

求的值域

（答：）

7．不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如

设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是__.

（答：）。

8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如

求函数，的最小值。

（答：－48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？

（2）函数的最值与值域之间有何关系？

4.求函数解析式的常用方法：

1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如

已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式。

（答：）

2．代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如

（1）已知求的解析式

（答：）；

（2）若，则函数=_____

（答：）；

（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________

（答：）.

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。

3．方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的