点、直线、平面之间的位置关系章末复习课教案.docxVIP

章末复习课

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要点归纳

1．线线关系

空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．

(1)证明线线平行的方法

①线线平行的定义；

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；

④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；

⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.

(2)证明线线垂直的方法

①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；

③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.

2．线面关系

直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.

(1)证明直线与平面平行的方法

①线面平行的定义；

②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；

③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.

(2)证明直线与平面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；

③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；

⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.

3．面面关系

两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．

(1)证明面面平行的方法

①面面平行的定义；

②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，

a∩b＝A?α∥β；

③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β；

④公理4的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.

(2)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；

②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.

4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点

(1)由已知想性质，由求证想判定．

(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．

(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

5．“升降维”思想

用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．

平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.

专题一共点、共线、共面问题

1．三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上.

2．共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．

3．三线共点问题

证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

【例1】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：(1)E、F、G、H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

证明(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.

∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，∴EF∥GH，

∴E，F，G，H四点共面．

(2)∵G，H不是BC，CD的中点，

∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形．

∴EG与FH必相交，设交点为M，

∴EG?平面ABC，FH?平面ACD，

∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，

∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．

专题二平行间、垂直间及平行与垂直间的转化

立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的，线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化，垂直与平行之间也可相互转化．

(1)不同层次的平行关系的转化．

(2)不同层次的垂直关系的转化．

(3)平行与垂直的转化．

【例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．

(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.

(1)证明连接BD，∵四边形ABCD为菱形．

∴AD＝AB.又∠BAD＝60°，

∴△ABD为正三角形．

又Q为AD的中点，∴AD⊥BQ.

∵PA＝PD，Q为AD的中点，

∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，

∴AD⊥平面PQB.又AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.