二零二三年 优质公开课球积之魅.ppt

缘起刘徽（魏晋时期）欧几里得（古希腊）穷竭法无限分割刘徽和欧几里得分别利用“无限分割”和“穷竭法”求出了三棱锥的体积公式，在东西方的数学发展史上留下了浓墨重彩的一笔，并各自继续探究.遗憾欧几里得在《几何原本》里提出：球体积与它的直径的立方成正比.即：V=kd3.但并未给出k的值，没有得出精确的球积公式，可谓欧几里得没有言说的遗憾！汉代以前，人们通过实测的方法得到球积的近似公式.《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径.即刘徽在注释《九章算术》时，发现上述公式误差很大，为了解决问题，他创造了叫一个“牟合方盖”的立体图形.它是两个半径相等且互相垂直的圆柱的公共部分.他发现“牟合方盖”恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切.如果用一水平面去截它们，就会得到一个正方形（牟合方盖的截面）和它的内切圆（球的截面）.刘徽利用“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，并发现正方形与其内切圆面积之比为4：π.并得出，“牟合方盖”与其内切球体积之比也为4：π，解决球体问题的关键就是要求“牟合方盖”的体积.刘徽在注释中写道：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者.期望后人能继续解决这个问题.骄傲古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱这个图形（圆柱容球）刻在他的墓碑上.上图的奖章为菲尔兹奖奖章，它的正面是阿基米德的浮雕头像，背面为阿基米德的球体嵌进圆柱体内图象.阿基米德是如何推算球体体积的呢？阿基米德是利用力学的思想，采取了一种称为“平衡法”的方法发现了球的体积公式.他构造了右图所示的球和与球外切的圆柱模型，然后从它的截面用切割“小薄片”的方法展开分析.小薄片这是上页图的截面图，它绕TS旋转一周会行成球、圆锥、圆柱三个几何体.然后用平行圆柱底面截厚度为d的小薄片.这些小薄片的体积近似值为：球：πx（2R-x）d，圆柱：πR2d，圆锥：πx2d.他发现[πx（2R-x）d+πR2d]×2R=4πR2xd，其中乘2R可以看做把小薄片重心挂在点T，绕N的合成力矩.TN=NS而4πR2xd恰好为圆柱小薄片处于原位置时绕N的力矩的4倍.再把切割几何体的所有小薄片加起来得到：2R×（球体积+圆锥体积）=4R×（圆柱体积）故阿基米德竟然称出了球的体积公式，这种方法真是太精彩了！小薄片祖冲之（南北朝）祖暅（南北朝）祖暅原理《缀术》在我国，南北朝时期的祖冲之和祖暅父子也完成了刘徽的遗愿，得出了球的体积公式，祖氏有云：“缘幂势既同，则积不容异”这就是著名的祖暅原理.意思是说“如果两个几何体等高处截面面积总相等，则它们的体积相等”.如同这两摞个数相同的硬币，高度相同，截面面积相同，虽然形状不同，但体积相等.现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列里首先引用的，称为卡瓦列里原理，但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理求出了球体的体积.祖氏父子继承了刘徽的思路，计算“牟合方盖”的体积.先取了牟合方盖和它外切的立方体的八分之一.他们把思路转向立方体切除“牟合方盖”后的那部分体积.根据祖暅原理，构造一个底面边长和高都等于r的方锥，设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，可计算得出方锥截面面积为h2.也就是说在等高处L型的面积与这个立方锥的截面面积总是相等的，所以它们的体积也是相等的.r根据刘徽已经推出的牟合方盖的体积与其内切球体积之比为其每一截面面积之比为4：π.故祖暅原理《缀术》r2r后记通过几代人的努力，无论在东方还是在西方，都成功地推导出了球积公式，并给出了精彩纷呈的证明.尽管他们的文化背景不同，解决问题的思路不同，但都推动了数学不断地向前发展.