相似三角形基本模型综合培优训练（三）（解析版）.docxVIP

相似三角形基本模型综合培优训练（三）

1．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（????）

A．8 B．7 C．9 D．

【答案】D

【详解】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，

∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，

由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，

在△PEF与△DAE中，

∴△PEF≌△DAE（AAS），

∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE?CE＝CD?CE，∴PC＝DE，

∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴点F在∠BCP的平分线上，

如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AC、BM，连接AM交直线CF于点F，此时，AF＋BF最小，

∵点B关于直线CF的对称点M，

∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，

∵ABCD，∴四边形ABMC为平行四边形，

∴BG＝CG＝BC＝4，

设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM?PC＝8?x，

∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PFBC，∴△MPF∽△MCG，

∴，即，解得：x＝，

∴CE＝CD?DE＝8?，

∴，

故选：D．

2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若，则的度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=DC，

∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴EC=DF，

在△ADF和△DCE中，

，

∴，

∵，

∴，

∴．

如图：延长DE交AB的延长线于H，

，，

，

，

∴BH=AB,点B是AH的中点，

∵，

，

∴GB=HB，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：A．

3．如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______．

【答案】或

【详解】解：当时，

当点在上时，

是等边三角形且边长为，

，，

，

旋转得到线段，

，

，

，

，

是的中点，

，

，

即时，，

；

，如图，

延长到使，

连接、，

过作交延长线于，

，，

是等边三角形，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

即，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

设，则，

是中点，

，

由旋转性质可知，

，

，

，，

∽，

，

，

，

，

，

，

；

当时，

，

，

不成立，

综上，或；

故答案为：或．

4．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．

【答案】2

【详解】解：如图，

∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4

∴

∴△ABC∽△ADE，

∴∠ADE=∠ABE，

∴点A，D，B，E四点共圆，

∵∠DAE=90°，

∴∠DBE=90°，

∵F是DE的中点，

，

∴当DE最小时，BF的值最小，

∵若点E是直线BC上的动点，

∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，

∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，

∴，

，

∵△ABC∽△ADE，

，

，

∴，

∴BF=2，

∴BF的最小值是2．

故答案为:2．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=2，则OE=_________．

【答案】

【详解】在CA上截取CF=CE，

∵CD平分∠BCA，∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，

在△COE和△COF中

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF．

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∵EF平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=15°，

∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．

∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO

=180°-(∠BAC+∠ACA)

=180°-(180°-60°)

=120°，

∴∠AOF=120°-60°=60°，

∴∠AOD=∠AOF，

在△AOD和△AOF中

，

∴△AOD≌△AOF（ASA），

∴OF=OD，

∴OE=OE．

作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，

∴∠CMO=∠CND=90°，

∵∠OCM=∠DCN，

∴△OCM∽△DCN，

∴．

∵sinB