53.4相似矩阵_教程.pptVIP

(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则证例1三、矩阵的相似对角化的条件定理7n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件

为A有n个线性无关的特征向量.例2例3例4§5.4实对称矩阵的相似矩阵一般地,能保证矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关特征值λ的重数k≥λ对应的线性无关的特征向量的个数二、实对称矩阵的相似对角化用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：例1例2定义设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P，使得

则称A与B合同（或相合）§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形例2注：第六节正定二次型一、实二次型的分类二、二次型正定的判别方法推论1证定理13思考题只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型2．用矩阵表示在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．证明即为对称矩阵.说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例2求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形.利用正交矩阵将对称矩阵对角化.于是问题转化为：解：A的特征多项式为故A的特征值为相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足正交矩阵为所做正交变换为标准形为：解例3用正交变换化实二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把实二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.所做可逆变换为含有平方项含有的项配方而我们曾用正交变换化标准形为：比较解例4由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；(2)平方项的系数正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数；负系数个数为负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为符号差.例的正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为1.惯性定理正定矩阵；正定二次型定义矩阵的正定与负定是怎样定义的？负定矩阵；负定二次型，如何证明A是正定阵？A正定?xTAx0判别法I：用定义例1证判别法II：用标准型正惯性指数=n证“?”：“?”：反证*相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节相似矩阵称为对A进行相似变换设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算一、相似矩阵的概念定义（1）自反性A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性若A~B，则B~A（3）传递性若A~B，B~C，则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质k个特别地，若有可逆矩阵P,使为对角矩阵，即则，而对于矩阵有利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,(1)式左端就相当于对A施行一系列的初等行变换和列变换,因而秩不变.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的